lunes, 12 de marzo de 2018

Cantor, ¿otro matemático trasnochado?

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[ potencial-refutación de (ADC1) ] --------------------------------------------
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                 Críticas respecto del argumento diagonal (1) de Cantor

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Asumidos, como significativos los siguientes puntos:
§  [0] la diagonal invertida de Cantor demuestra que (½R½>½N½) ( pormenorización al respecto ).

§  [1] esta demostración por diagonalización de Cantor constituye un non sequitur travestido de reducción al absurdo ( pormenorización al respecto )Dado que: el que, la diagonal principal invertida de una matriz bidimensional, no pueda contenerse horizontalmente en sí misma (a excepción de alguna inconducente convención matemática) resulta ser subyacente/prioritario y en ello, indiferente/independiente de las propiedades de los conjuntos, así como de la cantidad de sus elementos.

§  [2] otras problemáticas/limitaciones de estos métodos ([NTyPE] ( pormenorización al respecto )[IAESIP] ( pormenorización al respecto )[CCIII] ( pormenorización al respecto ) y [EIEFSE] ( pormenorización al respecto )).

Concluyo que: esta demostración por diagonalización de Cantor – en última instancia [0] –, deberían considerarse como metodológicamente inválida – respecto de su capacidad de comparar propiedades entre conjuntos o de la cantidad de sus elementos – tan solo por [1] – aunque, no debería desestimarse el resto de problemáticas/limitaciones de estos métodos –.
Nota: dado que, desde hace décadas, vengo compartiendo distintas versiones de [1] – así como el del resto de problemáticas/limitaciones de estos métodos – ante “sabedores/divulgadores/expertos” como una manifiesta e invalidante obviedad sin éxito alguno, en no pocas ocasiones, he llegado a dudar seriamente de mi cordura/capacidad analítica. Puesto que. Me resisto a creer que: ni por si mismos – poseedores de tan excelsa “capacidad analítica” según sus devotos (máxime en grupo) – ni por reiterada puntualización de mi parte, sean incapaces de reconocer tal manifiesta e invalidante obviedad.

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¿Demostración por diagonal invertida de Cantor de (½R½>½N½)?: (ADC1)
[0] Si aceptamos que, el conjunto de los números Reales es un conjunto denso (entre dos números Reales (distintos), siempre existirán infinitos números Reales – el resultado de dividir la suma de dos números Reales (distintos) entre dos, es otro número real –), Lista(C), jamás podrá contener la construcción numérica de todos los números Reales del Intervalo Unidad¿Demostración matemática? (bueno, pero si acaso tal, requeté somera)

Lista de Cantor: …………………………………………………………… f: (N®R(0, 1))
La lista de Cantor, se construye mediante (f), correlacionando (1 a 1) los números Naturales a los números Reales del Intervalo Unidad. Con la esperanza de no poder definir una relación – función biyectiva – en dicha lista. En particular, que algún elemento de (R(0, 1): Codominio) quede sin aparear, implicando así, que dicha relación no es sobreyectiva.
En síntesis: demostrar que no es posible establecer una correspondencia biunívocabásicamente una numeración de los elementos del Intervalo Unidad – entre los miembros de Lista(C).
N     » R(0, 1)
r(1) = [0]001…
r(2) = 0[0]02…
r(3) = 00[0]3…
r(4) = 000[4]…
r(n) = …

(x) de Cantor: (r[Fila, Columna])
Cantor, intenta construir un número real x(C) del Intervalo Unidad, tal que no pueda encontrase en Lista(C). Para ello, define un proceso diagonal equivalente a (PDC()=for(=1; k<¥; k++) x[k]+=mod(r[k, k]+1; 9);).
Nota: dada la conformación de PDC(), y siendo Lista(C), un intento de enumerar cierto intervalo numérico, ésta, no debería contener elementos idénticos – en un mismo dominio de la función –. En consecuencia, por ej.: o contiene a 0,49 o a 0,50, pero nunca ambos. Enunciamos entonces que: Lista(C), no contiene elementos cuyo periodo sea: (9).
Caso contrario, y con el fin de evitarle inconvenientes a Cantor – a consecuencia de una desafortunada convención matemática: diferentes representaciones simbólicas de un mismo número, ej.: 0,49=0,50=0,5 –, modificamos un poco la alteración de cada digito de su diagonal – evitando así, que su x(C) contenga algún digito: (0) por ej.: (PDC()=for(k=1; k<¥; k++) if(r[k, k]≠9) then x[k]=mod(r[k, k]+1; 9); else x[k]=1);)–, o simplemente definiendo nuestra función como (PDC()= for(k=1; k<¥; k++) x[k]+=mod(r[k, k]+2; 9);).


La pregunta retórica de Cantor: ¿puede Lista(C) contener a x(C)?
Dada su construcción, x(C) no podrá estar contenido en lista – finita o infinita – alguna. Puesto que, dicha posibilidad es cercenada por (PDC()): si por alguna paradójica razón {oxímoron mediante: alcanzar lo inalcanzable}, x(C) fuese construido, éste, contendría al menos un digito diferente a cada número (elemento del Codominio) de Lista(C).
Conclusión de Cantor (ADC1): dado que, nuestra premisa de partida fue suponer al conjunto de los números Reales del Intervalo Unidad numerable. Y siendo, que pudimos construir un x(C), tal que, no puede estar contenido en Lista(C). En consecuencia, demostramos por reducción al absurdo, que: el conjunto de los números Reales del Intervalo Unidad, y por extensión, el conjunto de números Reales, no es numerable.

Critica.ADC1: 
[1] Dado que: la conclusiónesencialmente: (f), es no-sobreyectiva (ninguna matriz bidimensional, puede contener verticalmente a los valores de su diagonal principal invertidos {en forma alguna, una falsa disyunción pretendida cual genialidad perfectamente vinculante, ¿verdad?}) –, resulta ser indiferente/independiente de propiedades de los conjuntos comparados o de la cantidad de sus elementos (me gustaría creer que: lo aceptaran como un non sequitur en toda regla. demasiado ingenuo, ¿verdad?). Sean, los conjuntos que sean, este método, siempre concluirá que: no es posible aplicar una función sobreyectiva en (f) y por ende, nunca será biyectiva – ver [FIO] ( pormenorización al respecto ) (intentando ser algo más estrictos: la comparación, decantara según el/los conjunto/s en donde se considere válido aplicar esta falsa disyunción) –. Por lo tanto: presumen, haber demostrado inequívocamente, esta especifica desigualdad estricta (½N½<½R(0,1)½) – ahora, ¿contara, su aplicabilidad en (½R½<½P(R)½) ( pormenorización al respecto ) /(½R(0,1)½<½R(0,1)½)/(½P(R)½<½P(R)½)/…, con similar grado de confianza? No se inquieten, un matemático español presuntamente reconocido, me aseguro (denostación mediante), que no debe aplicarse este método en esas y similares comparativas. Pues parafraseándolo: éste, fue originalmente concebido/diseñado, para determinar si un conjunto pude listarse junto a de los Naturales, aplicarlas en un contexto diferente, solo pone de manifiesto la absurdez y el desconocimiento matemático de quien lo propone {mi ignorancia e ingenuidad, parecen no tener limite, ¿verdad?}) –. ¿Vergonzosos traidores Gaussianos? Disculpen. Intentare ser tan consistentemente serio como estos trasnochados. Finalmente. Espero que: sin ser ésta, una refutación estricta, se entienda/comprenda a este método, como otro abuso de paralogismos travestidos de reducción al absurdo – la invalidez, de este tipo de no-razonamientos, resulta similar a la comúnmente reconocida en: si, 1+1=2, Dios existe (me gustaría creer que: lo aceptaran como un non sequitur en toda regla. demasiado ingenuo, ¿verdad?) {de inconducente/irrelevante nada, ¿verdad? (y si, sarcasmo)}. 1+1=2 {!sorpresa!}. Ergo: Dios, existe {al menos, en un sistema numérico posicional de base (10) (como el infinito, Dios tiene sus límites)} –. ¿Insuficientemente obvio todavía? Y, en ello, una innecesaria fuente de problemáticas/inconsistencias en la teoría de conjuntos. Así como: otro efecto indeseado del matemático trasnochado G. Cantor.
Nota.1: obviamente, haciendo a un lado el resto de problemáticas/absurdos como por ejemplo: ([NTyPE] ( pormenorización al respecto )). Sintéticamente: las problemáticas/absurdos derivados de juntar al infinito actual con G. Cantor – obviamente, no debemos desestimar la insufrible incapacidad de análisis de sus devotos seguidores y su lamentablemente elevado ratio de contagio –.
Nota.2: para aquellos que necesitan todo licuado: (ver [CCIII] ( pormenorización al respecto )).

[CCIII]: (Cantor y su característica irreconocida inconducencia/inconsecuencia)
Se pretende determinar que: (Dios, existe)»(R(0; 1)│>│N│).
Se propone como cierto y valido (conducente), variaciones del posterior paródico-análisis:

1)   [si, (A: {1+1=2 en base-posicional (10)}), ergo: (B: {Dios, existe})]»[si, (A: {una matriz cuadrática no puede contener horizontalmente a su diagonal principal invertida (a excepción de: diferentes formas de expresar exactamente un mismo número)}), ergo: (B: {en dicho conjunto acabado y horizontalmente-emparejado, existen elementos a enumerar/listar/descubrir}) {mejor, no preguntarnos el por qué éstos se descubren/construyen no-horizontalmente o por lo problemático de presumir un conjunto acabado y emparejado-horizontalmente en el cual descubramos/construyamos nuevos elementos, ¿verdad?}].

2)   [se da (A) {pudiendo en tal contexto ser diferente, ¿verdad? ¡Ups!}]»[se da (B{pudiendo en tal contexto ser diferente, ¿verdad? ¡Ups!}]. Es decir: en conjuntos comparables por este método, siempre se “demostrara matemáticamente” – ¡no olvidemos fingir sorpresa! –: (que [1+1=2 en base-posicional (10)] y que [una matriz cuadrática no puede contener horizontalmente a su diagonal principal invertida (a excepción de: diferentes formas de expresar exactamente un mismo número)]). Todo un nexo perfectamente consecuente entre la sorprendente revelación (es decir: (1)) – disculpen debí decir: “demostración matemática” – y (3), ¿verdad? {y si, sarcasmo}.

3)   []»[(C: {¿los nuevos elementos construidos a partir de la diagonal principal invertida – o de cualquier otra configuración geométrica invertida que alcance, al menos, una celda por fila – del conjunto, pertenece a dicho conjunto – básicamente: ¿cumple con todas las propiedades de dicho conjunto? –?})]. ¿Cargándonos la biyeccion así como el sorprendente método para descubrir nuevos elementos en conjuntos acabados y horizontalmente correlacionados (es decir: (1))? Es decir: la conducencia entre (A y B). Disculpen. Es que se me basureó mucho y durante mucho tiempo. Bien. Justo es aquí – obviamente, si me obligan a demostrar diferencias entre infinitos (si hay suerte: trans-finitos ( pormenorización al respecto )) –, donde esencialmente remito mi justificación al sugerir que el análisis de recubrimiento ( pormenorización al respecto ) vendría siendo un superior método de comparación entre conjuntos infinitos a la simple aplicabilidad o no de una biyección entre los mismos. Aunque, para este análisis, resulta indiferente que lo sea o no.

4)   Ergo: ([Dios, existe]»[(R(0; 1)), tiene más elementos – si hay suerte: una cardinalidad superior –, habiéndose “demostrado matemáticamente” por este método solo uno, que (N)]). Que así sea.

Completamente cierto y conducente – fundamentalmente entre (1) y (3) –, ¿verdad? {y si, sarcasmo}¿Puedo detenerme aquí o tengo que seguir explicitando y repitiendo sarcásticamente lo obvio? Ergo: este método, a mi entender actual, deviene siendo un falsa disyunción (ØA) – esperada en una (RA), aunque lamentablemente abusada debido a tanta irreconocida inconducencia – dentro de un irreconocido non sequitur – entre (1=(entre A y B)) y 3) – en toda regla¿Sorprendente? De cualquier forma. A mí no me miren. No soy yo, quien tiene por referentes en este tema a estos trasnochados.

Corolario: …Lo sé. Similar a como, en entornos terraplanista, resulta problemático/imposible convencerles de que la Tierra tiene la forma.3D de un esferoide oblato – favor de no extremar el ejemplo más allá de su ámbito aplicativo {y si, directa o indirectamente me estoy refiriendo a: depende, de lo que uses/abuses, lo que concluyes/confundes} –. G. Cantor, ha introducido tal nivel/grado de insensibilidad a lo problemático/absurdo en los modelos de los matemáticos que, ni presentándoles clara y paródicamente sus problemáticas/absurdos logran siquiera atisbarlo en algún grado – según ellos: desbordan consistencia y precisión divulgativa en sus soluciones a los problemas del infinito (si hay suerte: trans-finito ( pormenorización al respecto ), aunque terminen siendo irreconocidas apelaciones a lógicas para-consistentes ( pormenorización al respecto ) y/o replanteos improcedentes ( pormenorización al respecto )). Eres tú, el que no te enteras de nada. Calla y repite –. Que, esencial y algo menos paródicamente traducido seria: sus modelos, o son insuficientemente descriptivos/explicativos (y peor aún divulgados) y/o contienen un insufrible e irreconocido grado antinómico. Ni así, ¿verdad? Lo sé…

§  (Ver recubrimiento ( pormenorización al respecto )).

§ 


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[ potencial-refutación de (TC/ADC2) ] --------------------------------------
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Críticas respecto del teorema de Cantor y su argumento diagonal (2)


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Asumidos, como significativos los siguientes puntos:
§  [0] el teorema de Cantor/ADC2 demuestran que (½A½<½P(A)½) ( pormenorización al respecto ).

§  [1] estas demostraciones por diagonalización de Cantor constituyen non sequitur travestidos de reducciones al absurdo ( pormenorización al respecto ). Dado que: el que, la diagonal principal invertida de una matriz bidimensional, no pueda contenerse horizontalmente en sí misma (a excepción de alguna inconducente convención matemática) resulta ser subyacente/prioritario y en ello, indiferente/independiente de las propiedades de los conjuntos, así como de la cantidad de sus elementos.

§  [2] otras problemáticas/limitaciones de estos métodos ([NTyPE] ( pormenorización al respecto )[IAESIP] ( pormenorización al respecto ) y [EIEFSE] ( pormenorización al respecto )).

Concluyo que: estas demostraciones por diagonalización de Cantor – en última instancia [0] –, deberían considerarse como metodológicamente inválidas – respecto de su capacidad de comparar propiedades entre conjuntos o de la cantidad de sus elementos – tan solo por [1] – aunque, no debería desestimarse el resto de problemáticas/limitaciones de estos métodos –.
Nota: dado que, desde hace décadas, vengo compartiendo distintas versiones de [1] – así como el del resto de problemáticas/limitaciones de estos métodos – ante “sabedores/divulgadores/expertos” como una manifiesta e invalidante obviedad sin éxito alguno, en no pocas ocasiones, he llegado a dudar seriamente de mi cordura/capacidad analítica. Puesto que. Me resisto a creer que: ni por si mismos – poseedores de tan excelsa “capacidad analítica” según sus devotos (máxime en grupo) – ni por reiterada puntualización de mi parte, sean incapaces de reconocer tal manifiesta e invalidante obviedad.

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¿Demostración por teorema de Cantor de (½A½<½P(A)½)?: (TC)
[0] Presumida, inicialmente, una (f: A ® P(A)) y en ello, por inyectividad, que (½A½£½P(A)½). En consecuencia: debemos demostrar que (½A½<½P(A)½). Para ello. Se dividen los elementos de (A) en dos: los (B={"a Î A ½ a Ï f(a)}=rojos – elementos de (A), que no se encuentran en sus imágenes –) y los (C={"a Î A ½ a Î f(a)}=celestes – elementos de (A), que se encuentran en sus imágenes –). Agregándose, en forma alguna absurda e inconducentemente para este método {si, sarcasmo}, a (B) – es decir: el subconjunto de todos los elementos rojos de (A) –, como nuevo subconjunto del Codomino. Ahora. E intentando darle todas las ventajas que se me ocurren a este absurdo e inconducente método – parte del absurdo: ¿a poco, no se afirmó que todos los elementos de (A) estaban identificados o como (B: rojos) o como (C: celestes) y agregado (B) en el Codomino? {lo dicho, te descuidas un poco y te cuelan un autobús de dos pisos estos trasnochados}, parte de la inconducencia se explicitaran/ampliaran en Critica.TC –. En lugar de preguntarnos directamente si: ¿($a Î A ½ f(a)=B)? – es decir: ¿existe un específico elemento del Dominio, cuya imagen sea el nuevo elemento (B)? –. Puesto que. Agregar, arbitrariamente, un nuevo elemento (B) al Codomino, podría considerarse como un problemático y burdo intento de alterar su cardinalidadaunque, circunstancial y sospechosamente, en (ADC: argumento diagonal de Cantor), basta para proclamar la cardinalidad superior del mismo (aunque, una iterada modificación del mismo, terminaría “construyendo/descubriendoun número infinito/trans-finito de ellos) –. Presumo que: convendría agregar, arbitraria y compensatoriamente, un nuevo elemento (a) al Dominio. Para. Ahora sí. Preguntarnos si: ¿((a Î B)=rojo Ú ((a Î C)=(a Ï B)=celeste)? No desesperen. Asombrosa y fundadamente – obviamente, en diferenciables propiedades de los conjuntos comparados o en la cardinalidad de los conjuntos comparados {y si, sarcasmo} –, se descubren solo dos problemáticas/contradictorias posibilidades: (^: contradicción)

1)   Si [(a Ï B)=(a=celeste) ® (a Î f(a))], pero [por definición de (B), su imagen, debe ser el subconjunto de todos los (a Ï f(a)) ® ((a Î B)=(a=rojo) ® (a Ï f(a)))] \ $^(f).

2)   Si [(a Î B)=(a=rojo) ® (a Ï f(a))], pero [por lo agregado en (f), su imagen, es el subconjunto de todos los (a Ï f(a)) ® ((a), debe encontrarse en ese específico subconjunto imagen (B)) ® ((a Ï B)=(a=celeste) ® (a Î f(a)))] \ $^(f).

De (1 y 2), tenemos que: ((a Ï B) « (a Î B)) ® [existe una contradicción en (f) y en ello, una indecisión en (f)].
Ergo: en este específico contexto – por ej.: sin apelar a la teoría de tipos, la axiomática de Zermelo-Fraenkel, etc. –, no nos es posible decidir la pertenencia de ese singular (a). Finalmente: no nos es posible aplicar una función sobreyectiva entre (A) y (P(A)) y consecuentemente biyectiva en (f). Por lo tanto: queda demostrada esta inespecífica desigualdad estricta: (½A½<½P(A)½) – fuente: ( pormenorización al respecto ) 04:10min.

Critica.TC: 
[1] Dado que: la conclusiónesencialmente: (f), es no-sobreyectiva (resulta imposible decidir, en este específico contexto, la pertenencia de ese singular (a)) –, resulta ser indiferente/independiente de las propiedades de los conjuntos comparados o de la cantidad de sus elementos (me gustaría creer que: lo aceptaran como un non sequitur en toda regla. demasiado ingenuo, ¿verdad?) {a mí, no me miren: siendo ambos infinitos, dicha comparativa, resulta ser insufriblemente irrelevante (ver [AOIxT] ( pormenorización al respecto ) y [IGIAT] ( pormenorización al respecto ))}. Sean, los conjuntos que sean, este método, siempre concluirá que: no es posible aplicar una función sobreyectiva en (f) {a mí, no me miren: por alguna razón, la identifican, con una sospechosamente específica indecidibilidad de pertenencia} y por ende, nunca será biyectiva. Por lo tanto: pretenden, haber demostrado inequívocamente, esta especifica desigualdad estricta (½A½<½P(A)½).
Finalmente. Espero que: sin ser ésta, una refutación estricta, se entienda/comprenda a este método, como otro abuso de paralogismos travestidos de reducción al absurdo – la invalidez, de este tipo de no-razonamientos, resulta similar a la comúnmente reconocida en: si, 1+1=2, Dios existe (me gustaría creer que: lo aceptaran como un non sequitur en toda regla. demasiado ingenuo, ¿verdad?) {de inconducente/irrelevante nada, ¿verdad? (y si, sarcasmo)}. 1+1=2 {!sorpresa!}. Ergo: Dios, existe {al menos, en un sistema numérico posicional de base (10) (como el infinito, Dios tiene sus límites)} –. ¿Insuficientemente obvio todavía? Y, en ello, una innecesaria fuente de problemáticas/inconsistencias en la teoría de conjuntos. Así como: otro efecto indeseado del matemático trasnochado G. Cantor.
Nota: para aquellos que necesitan todo licuado: (ver [CCIII] ( pormenorización al respecto )).

¿Demostración de (½A½<½P(A)½) por diagonal principal invertida?: (ADC2)

[0] Presumida, inicialmente, una (f: A ® P(A)) y en ello, por inyectividad, que (½A½£½P(A)½). En consecuencia: debemos demostrar que (½A½<½P(A)½). Para ello. Se dividen los elementos de (A) y P(A) en dos: los (B={"a Î A ½ a Ï f(a)}=rojos) y los (C={"a Î A ½ a Î f(a)}=celestes). Y, se disponen, en una matriz bidimensional, verticalmente los elementos de (A) – algunos, restringen este método, solo a conjuntos donde (A) es numerable – y (P(A)). Identificándose, a la diagonal principal, como (ØB) – esta identificación, hasta donde entiendo, resulta ser literal (1 a 1, en específico, por el Domino: (x1) con f(x1), (x2) con f(x2), –. Y, su inversión, como (B). Acto seguido. Se preguntan respecto de si: ¿(B), puede ser alguna columna de (P(A))? Concluyendo que: no es posible. Puesto que, idénticamente al caso (ADC: argumento diagonal de Cantor), al menos, en la celda de cada columna correspondiente a la diagonal principal, su valor no coincidirá. Finalmente: no nos es posible aplicar una función sobreyectiva entre (A) y (P(A)) y consecuentemente biyectiva. Por lo tanto: queda demostrada esta especifica desigualdad estricta (½A½<½P(A)½) – fuente: ( pormenorización al respecto ) 12:50min.

Critica.ADC2: 
[1] Dado que: la conclusión – esencialmente(f), es no-sobreyectiva (ninguna matriz bidimensional, puede contener verticalmente a los valores de su diagonal principal invertidos {en forma alguna, una falsa disyunción pretendida cual genialidad perfectamente vinculante, ¿verdad?}) –, resulta ser indiferente/independiente de propiedades de los conjuntos comparados o de la cantidad de sus elementos (me gustaría creer que: lo aceptaran como un non sequitur en toda regla. demasiado ingenuo, ¿verdad?). Sean, los conjuntos que sean, este método, siempre concluirá que: no es posible aplicar una función sobreyectiva en (f) y por ende, nunca será biyectiva – ver [FIO] ( pormenorización al respecto ) (intentando ser algo más estrictos: la comparación, decantara según el/los conjunto/s en donde se considere válido aplicar esta falsa disyunción que, para colmo, ni siquiera remite directamente a los elementos de los conjuntos comparados sino a una arbitraria agrupación con el fin de adecuarlos para la aplicación de un (ADC)) –. Por lo tanto: presumen, haber demostrado inequívocamente, esta especifica desigualdad estricta (½A½<½P(A)½).
Finalmente. Espero que: sin ser ésta, una refutación estricta, se entienda/comprenda a este método, como otro abuso de paralogismos travestidos de reducción al absurdo – la invalidez, de este tipo de no-razonamientos, resulta similar a la comúnmente reconocida en: si, 1+1=2, Dios existe (me gustaría creer que: lo aceptaran como un non sequitur en toda regla. demasiado ingenuo, ¿verdad?) {de inconducente/irrelevante nada, ¿verdad? (y si, sarcasmo)}1+1=2 {!sorpresa!}Ergo: Dios, existe {al menos, en un sistema numérico posicional de base (10) (como el infinito, Dios tiene sus límites)} –. ¿Insuficientemente obvio todavía? Y, en ello, una innecesaria fuente de problemáticas/inconsistencias en la teoría de conjuntos. Así como: otro efecto indeseado del matemático trasnochado G. Cantor.
Nota.1: obviamente, haciendo a un lado el resto de problemáticas/absurdos como por ejemplo: ([NTyPE] ( pormenorización al respecto )). Sintéticamente: las problemáticas/absurdos derivados de juntar al infinito actual con G. Cantor – obviamente, no debemos desestimar la insufrible incapacidad de análisis de sus devotos seguidores y su lamentablemente elevado ratio de contagio –.
Nota.2: para aquellos que necesitan todo licuado: (ver [CCIII] ( pormenorización al respecto )).

Corolario: …Lo sé. Similar a como, en entornos terraplanista, resulta problemático/imposible convencerles de que la Tierra tiene la forma.3D de un esferoide oblato – favor de no extremar el ejemplo más allá de su ámbito aplicativo {y si, directa o indirectamente me estoy refiriendo a: depende, de lo que uses/abuses, lo que concluyes/confundes} –. G. Cantor, ha introducido tal nivel/grado de insensibilidad a lo problemático/absurdo en los modelos de los matemáticos que, ni presentándoles clara y paródicamente sus problemáticas/absurdos logran siquiera atisbarlo en algún grado – según ellos: desbordan consistencia y precisión divulgativa en sus soluciones a los problemas del infinito (si hay suerte: trans-finito ( pormenorización al respecto ), aunque terminen siendo irreconocidas apelaciones a lógicas para-consistentes ( pormenorización al respecto ) y/o replanteos improcedentes ( pormenorización al respecto )). Eres tú, el que no te enteras de nada. Calla y repite –. Que, esencial y algo menos paródicamente traducido seria: sus modelos, o son insuficientemente descriptivos/explicativos (y peor aún divulgados) y/o contienen un insufrible e irreconocido grado antinómico. Ni así, ¿verdad? Lo sé…

§  (Ver recubrimiento ( pormenorización al respecto )).

§  


[NTyPE]: (¿números trans-finitos»principio de explosión?) otra infecciosa e irreconocida relación trasnochada. Algunos efectos nocivos del infinito (si hay suerte: trans-finito ( pormenorización al respecto )Cantoriano – como siempre: sin apelar a lógicas para-consistentes ( pormenorización al respecto ) y/o replanteos improcedentes ( pormenorización al respecto ) –, son:

1)   No considerar inconcebible ( pormenorización al respecto ) el ser: horizontalmente construible y construida/acabada – y en ello, finita/acotada y exhaustivamente representable {si, sarcasmo} – una lista inacabable/infinita (si hay suerte: trans-finitocapaz de ser comparada con otras listas (ver [EIEFSE] ( pormenorización al respecto )). Es más. La exponen/construyen, rápidamente en un formato de matriz bidimensional finita – incluso, en la lista completa de Reales del intervalo unidad (una hipertarea ( pormenorización al respecto )), donde, ni siquiera está definida la función sucesor (como en los números racionales) –, cabiendo en menos de una carilla.A4 (ver [IAESIP] ( pormenorización al respecto )) y obviamente, sin abusar convenientemente de los “puntos suspensivos” {si, sarcasmo}. Para que, acto seguido, se ufanen de su consistencia y precisión – esencialmente: una irreconocida apelación a lógicas para-consistencias y/o replanteos improcedentes –. Pero bueno.

2)   De (1), les resulta sorprendente descubrir/construir no-horizontalmente – lo sé. ni siquiera expuesto así, logran ver el absurdo –, arbitraria y en forma alguna sospechosamente por ello {si, sarcasmo}nuevos elementos en (1) – ver [FIO] ( pormenorización al respecto ) –.

3)   De (1), podemos inferir que: de un inacabable-acabado, solo pueden construirse/constituirse demostraciones matemáticas en toda regla. Siendo que: la desbordante consistencia y precisión de los matemáticos posCantorianos, subyace en ellas {¿debo aclarar que es un sarcasmo?}. Cualquier parecido con un principio de explosión, es solo una desafortunada coincidencia ¿verdad? {y si, sarcasmo}.

4)   Desestimando/irreconociendo (3), arriban a contradicciones como que: la cantidad de dígitos del último elemento de la acabada lista (Nnúmeros Naturales{lo sé. ni aun así, logran percatarse de estos absurdos}, por definición de (N), debe ser necesariamente finita, sin embargo, la cantidad de dígitos de su diagonal principal invertidadebe ser necesariamente infinita. Un infinito, cuyo último digito acaba siendo el último digito del último elemento finito. ¿Un ejemplo concreto de un inacabable-acabado? – lo sé. ni siquiera expuesto así, logran ver el absurdo –.

5)   Desestimando/irreconociendo (3), arribados a cierta instancia del algoritmo/método matemáticamente demostrativo, se nos asegura apodícticamente que: lamentablemente, nos faltarían/nos sobrarían elementos/componentes para establecer una correspondencia biunívoca/función biyectiva, con/a los que asociar elementos/componentes del propio/otro conjunto {a mí, no me miren}. Es que. Al parecer. Eso de ser infinito (si hay suerte: trans-finito), en ocasiones, parece estar “algo circunstancialmente sobrevalorado/agotado/acabado” – [EIEFSE] ( pormenorización al respecto ) – {sí, sarcasmo}.

6)   Desestimando/irreconociendo (3), no consideran inconcebible el que: “un todo, posea la misma y acabada cantidad infinita (si hay suerte: trans-finitade elementos que alguna/s de sus partes”, “un segmento, posea la misma y acabada cantidad infinita (si hay suerte: trans-finitade elementos que la superficie/volumen/… del que forma parte” – lo sé. ni siquiera expuesto así, logran ver el absurdo –. Favor de diferenciar las anteriores afirmaciones de: poseer idéntica potencialidad infinita de recubrimiento ( pormenorización al respecto )/densidad/etc. Por si, todavía no ha quedado suficientemente claro: sea cual sea el conjunto, mientras este sea infinito, nunca se acabaran sus elementos antes que los de cualquier otro conjunto infinito.

7)   Desestimando/irreconociendo (3) y en parte relacionado con (6), no consideran inconcebible el que: siendo, los números naturales pares o impares, restarles los primeros, implica restar incluso los impares {¿efectos nocivos del abuso de la biyección?}. Obviamente, extensible a absurdos similares – lo sé. ni siquiera expuesto así, logran ver el absurdo –.

8)   Desestimando/irreconociendo (3), no consideran inconcebible el que: un contenedor (infinito o no), se auto-contenga – lo sé. ni siquiera expuesto así, logran ver el absurdo –.

9)  
Mi pesimismo a este respecto, remite al insufrible grado/nivel de incapacidad analítica manifiesta en estos trasnochados y sus devotos adoradores. Así como, a lo extremadamente difícil que resulta el aceptarlo públicamente, sea frente a sus iguales y, más aun, frente a sus ninguneados.
Nota: instanciemos donde instanciemos, la creación/constitución de la lista completa de (N) – que, vendría siendo una supertarea ( pormenorización al respecto ): tanto, el número de dígitos de su última fila como los de su diagonal principal invertida, serán inevitablemente finitos.

[FIO]: (fundante e inconducente obviedad {y si, otro oxímoron paródicamente usado}) al parecer, resulta sorprendente y perfectamente fundante de lo que se nos ocurra, que: la diagonal principal invertida de una matriz bidimensional finita/infinita (a excepción de alguna inconducente convención matemática y si, hubo un matemático español que exigió, denostación mediante, que lo demostrase –), no pueda contenerse horizontalmente en sí misma {¿consecuencia del abuso de analogías insuficientes?}. Peor aún. Gustan de elegir/proclamar, esta falsa disyunción (me gustaría creer que: lo aceptaran como un non sequitur en toda regla. demasiado ingenuo, ¿verdad?), como una sorprendente y genial justificación de aquello – es decir: comparar infinitudes (si hay suerte: trans-finitudes ( pormenorización al respecto )) – de lo que no deriva ni se conduce – por ej.: en los (ADC: argumento diagonal de Cantor) –. Dado que: su inevitabilidad/obviedad, no se remite a la comparativa entre cardinalidades – ni tan siquiera, indirectamente a específicas propiedades de los conjuntos comparados –. Es decir. Ésta, resulta ser completamente independiente – y si, lo de completamente viene sobrando, pero es que, a los filo-bobos/mate-bobos/cientí-bobos (es decir: trasnochados) no hay con que darles {y lo sé: igual, ni modo} – de su uso. Sea, el que éste sea, será un uso invalido/inconducente debido a esta falsa disyunción. Obviedad, esta última que, vengo repitiendo hasta el hartazgo, sea con ligeras o profundas variantes/diferencias.
Nota: al parecer, ante tanta objeción irrelevante debo explicitar hasta lo desestimado por tal. El análisis anterior y consecuente invalidez/inconducencia de estos argumentos diagonales – aunque, podría ser cualquier otra disposición vertical (al menos, un elemento por fila) –, resulta independiente de si el subconjunto-constituido – es decir: ristra de elementos arbitrariamente cambiados – cumple con las propiedades de dicho conjunto. Es decir: esta objeción, resulta ser más fundamental/prioritaria/subyacente/inespecífica a la propuesta en específicas comparativas entre (Q y R) y similares.

[IAESIP]: (infinito-actual, empíricamente superior al infinito-potencial) entonces, ¿un número decimal perteneciente al conjunto de números Reales, entre un punto de origen (tomado como cero de coordenadas) y una específica distancia mayor que cero (radio-volumétrico), se encuentra dado (algo así como: empíricamente instanciado con todos sus infinitos decimales) en la naturaleza ( pormenorización al respecto )/la realidad ( pormenorización al respecto )/lo existente ( pormenorización al respecto )  – en un específico volumen –? ¿Suficientemente obvio? – por si acaso no lo es: la presentación del absurdo (superioridad empírica del concepto ( pormenorización al respecto ) de infinito-actual por sobre la del infinito-potencial) a razón de asumir que, un progresivo aumento de resolución indetenible, implicaría la existencia de huecos en la naturaleza/la realidad/lo existente ( pormenorización al respecto ). Sin percatarse siquiera de que: en tal presunta ejemplificación empíricamente superadora del infinito-actual, se estaría confundiendo el siempre (teóricamente hablando, dado que empíricamenteparece que siempre existirán limitaciones respecto de cuanto nos es posible precisar una observación/lo observable ( pormenorización al respecto )) poder aplicar dicha progresión con que ésta tenga que estar empíricamente dándose en todo momento –. En esencia: constituyen un hombre de paja empírico de la acepción potencial del concepto del infinito ( pormenorización al respecto ) además de un inverificable empírico. Y, por si fuese poco, justificados en lo anterior, en el mejor de los casos, manifiestan una notoria condescendencia con quienes comulgan con la acepción potencial – cual si, fuesen arcaicos/hace tiempo superados, no se debería pedirles más para su tiempo, por aquellos que sostienen la acepción actual – y en el común, una manifiesta denostación hacia su contraparte. Efectos nocivos de G. Cantor.

[EIEFSE](¿eliminando los infinitos emparejados, faltaran/sobraran elementos?) veamos. Analicemos un posible análogo de una manifiestamente trivial e inapelable demostración del infinito-actual así como de la comparativa por emparejamiento – es decir: simple aplicabilidad o no, de una función biyectiva entre conjuntos infinitos –, al que suelen apelar los devotos Cantorianos. Asumamos que: (R: números Reales), (E: números Entero), (TI: tendencia inacabable/indetenible – infinito-potencial –), (DQ: números decimales Racionales) y (DI: números decimales Irracionales). De donde se presume que: (TI.R=(TI.E=(TI.DQ)+TI.DI)). Ergo: (TI.R>TI.E). Relación ésta que, podría pormenorizarse como sigue: desde un arbitrario número Entero/Racional/afín – es decir: punto/s coordenado/s – en adelante – es decir: hacia +¥/-¥ –, se emparejan uno a uno los elementos de dos específicas (TI) – por ej.: (TI.R y TI.E), anulándose mutuamente en el proceso –. Básicamente, se parte de por ej.: (TI.R … [-33 … 0 … +33] … TI.R)=(TI.E … [-33 … 0 … +33] … TI.E{en principio, ¿desestimando los números decimales superiores/inferiores a (-33/+33)?} – centrémonos y que no nos distraigan/detengan nimiedades anti-Cantorianas –. En consecuencia. Podremos, a simple vista {¿intentando dar la apariencia de carente de problemáticas y absolutamente convincente (acaso trivial) de lo que sigue?}, descubrir que: existirán (DI), entre los números ([-33, +33]) de la recta real (es decir: el intervalo restante) – recordemos que: resulta insultante el no desestimar que, en el resto de la recta real, también deberíamos descubrir dicho faltante de emparejamiento (y en ello, preguntarnos: como, sin repetir número, (TI.E) puede dar cuenta siquiera de esos (DQ) en nuestro prístino y sin fisura vinculante ejemplo) –, que jamás podrán ser emparejados/alcanzados por (TI.E). Es decir. Si apelamos a una restringida conceptualización del infinito-potencial, donde las (TI), al encontrarse en continua construcción – es decir: donde no se pretende representar al infinito-actual –, eliminarían una significativa parte de esta problemática comparativa, al simplemente anularse entre sí, convirtiéndolas en algo equivalente a cero – es decir: dejemos de preocuparnos por lo que acontece desde ese/esos punto/s coordenado/s en adelante, puesto que, en el más inconveniente de los casos para nuestra demostración, se anularían mutuamente y centrémonos en ver que descubrimos a simple vista en el intervalo restante –. ¡O sorpresa!. Descubrimos, en éste, un faltante de emparejamiento – que, y a sabiendas del resto de disruptivas problemáticas que, por insultantes, fuimos obligados a desestimar, arribados a esta instancia de nuestro análisis, ya no podremos atribuir a números fuera del intervalo restante (muy lejos, allá, en el infinito-potencial), puesto que, anteriormente concluimos que: dichas (TI) se anularon mutuamente –. En consecuencia: finalmente, hemos arribado a un inevitable/incuestionable faltante de emparejamiento perfectamente consistente/convincente y presuntamente, sin implicar al infinito-actual. Claro que. Se diesen cuenta o no. Lamentablemente, en dicho análisis, terminan apelando (directa o indirectamente), incluso en el intervalo restante, sea a lo finito y/o al infinito-actual – es decir: dimensionalmente hablando, a lo parcial/completamente acotado (superior e inferiormente) –. Pudiéndose apreciar – obviamente, dependiendo del grado de infestación Cantoriana presente –, dicha no-reconocida apelación, al percatarnos de que: en última instancia, esta manifiestamente trivial e inapelable demostración del infinito-actual así como de la comparativa por emparejamiento, remite inevitablemente a un análisis de recubrimiento ( pormenorización al respecto ). Puesto que, en el intervalo restante, se aplica un enfoque/conceptualización de algo acabado/completo, que de ser infinito ( pormenorización al respecto ) – si hay suerte: trans-finito ( pormenorización al respecto ) –, nos remite inevitablemente al infinito-actual. Que, a la vista de cómo es usado, a fin de cuentas, termina comportándose como un infinito-finito {a mí no me miren, obvio que ni siquiera lo reconocen}. Para, acto seguido, comparar recubrimientosdensidades y/o características afines a dicha problemática comparativa, de los mismos. Es más. Aunque, circunstancial y en ello nada sospechosamente {si, sarcasmo}, en convenientes ocasiones, se dan el lujo de descubrir nuevos números/elementos en conjuntos acabados/completos. Luego, se me ofenden rápido, al atreverme a poner en duda la experticia y en ello, su capacidad de análisis de estas trasnochadas lumbreras respecto de estos temas. Y bue…

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Tomemos en consideración lo siguiente

¿Qué representa el símbolo de infinito?
El símbolo infinito, no representa una específica cantidad – propiamente numérica – de su unidad. En su lugar, representa lo inalcanzable (inconmensurable). Y particularmente, en teoría de conjuntos (post Cantor), representa un número transfinito ( pormenorización al respecto ) – propiamente un conjunto inductivo ( pormenorización al respecto ) – considerado como mayor a cualquier número de su conjunto.
§  Infinito actual: cantidad infinita completa (concretada) – o infinito propio de Cantor (número transfinito) –.
§  Infinito potencial: sucesión interminable que converge a cierto límite – o infinito impropio de Cantor –.
Nota: ahora, ¿por qué razón, ser – al mismo tiempo – un conjunto ordenado completo – acabado – eincompletable – sin último elemento –, no resulta auto-contradictorio?

Nota: Cantor, consideraba tres contextos donde surge el concepto de infinito actual:
§  Cuando es realizado en su forma más completa, en un ser independiente de otro mundo, en Dios, al cual denomino: infinito absoluto o simplemente absoluto.
§  Cuando acontece en lo infinito empíricamente-contingente, en el mundo físico.
Critica:
Entonces, ¿será que algún infinito actualexiste? y ¿será incluso experimentable?
Como siempre. Básicamente, nos estamos preguntando si: ¿x = y? – siendo (x: cualquier infinito actual) e (ycaracterísticas – empíricas o teóricas – de lo existente) –. Por lo tanto, dependiendo del grado de adecuación entre (x) e (y) – respecto de un específico sistema axiomático (arbitrariamente elegido y verificado) –, se derivará su valor de verdad.
Bien. Hasta donde he podido reflexionar. Lo infinito – inespecífico proceso inacabable, que remite a: unainespecífica cuasi-potencialidadpor ser ésta inalcanzable y en consecuencia a un objeto empíricamente incontrastable (por inconcretable) –, obviamente se autoexcluye del ámbito empírico – puesto que: en cada estadio del específico proceso, dicho objeto físico, será finito –. A menos claro, que consideréis coherente, el que un objeto físico – e incluso matemático – posea específicas características contradictorias – en nuestro caso: la de ser un específico proceso inacabableactualmente acabado.
Nota: aunque. Debería revisar las publicaciones científicas a este respecto. Uno no debe subestimar, lacapacidad de elucubración, de algunos físicos teóricos/matemáticos trasnochados. Esperen. Increíble, lo han publicado y hace rato. Aunque, “lo veo, pero no lo creo”: dijo el trasnochado Georg Ferdinand Ludwig Philipp Cantor.

Ergo, todo proceso inacabable, deberá ser restringido exclusivamente al ámbito abstracto. Siendo, según convención vigenteespecíficamente identificado – y, en consecuencia: no algo concretado –, a su específica representación simbólica, según las específicas características de su tendencia.
Nota: por las dudas y a consecuencia del anterior análisis. Tampoco concuerdo, con la concreción deprocesos inacabables – infinito actual –, en el ámbito matemático.

Finalmente. Respecto de cualquier objeto físico, solo nos es posible físicamente aplicar/constituir:específicos procesos acabables. Debido a que: ineludiblemente, alcanzaremos su específica condición de corte – misma que, esencialmente estará supeditada a: leyes y constantes físicaslimitaciones tecnológicas y temporales –. Aunque, haciendo a un lado, el aparente poder hipnótico, que algunosfísicos teóricos/matemáticos trasnochados parecieran poseer – dado el grado de convencimiento logrado entre pares y adoradores (en buen número: autoproclamados conocedores de la ciencia), respecto de sus elucubraciones –, no me resultaría extraño, que tales prodigios pudiesen físicamente aplicar/constituirun específico proceso inacabable respecto de un especifico objeto físico.
§  Cuando nuestra mente lo aprehende, en abstracto como una magnitud matemática, número, o tipo de orden:infinito mental.
Quiero hacer un claro contraste entre lo que denomino infinito absoluto y lo que denomino transfinito. Es decir, los infinitos actuales de las dos últimas clases. Mismos, que están claramente limitados – sujetos a nuevas extensiones – y por lo tanto relacionados con lo finito.

Nota: según parece, Cantor rechazo la distinción entre infinito potencial y actual. Debido a que, para Cantor, en matemática: todo infinito potencial presupone la existencia de un infinito actual. Puesto que, las matemáticas son atemporales – es decir: no pueden albergar la noción de progreso en el tiempo, sino que cualquier progreso debe considerarse actual o atemporal –. De hecho, si una teoría matemática tuviese en cuenta la dimensión temporal, entonces, automáticamente, tal teoría pasaría a pertenecer al campo de la física.
Critica: si bien, en matemáticas – así como en cualquier sistema axiomático – es posible construir – e incluso declarar verdaderas – a entidades/objetos auto-contradictorias – (A) y no (ØA): “lo inacabable acabado, no constituye una contradicción en esta teoría” –. Tampoco, es como para que venga Cantor y nos venda su axiomática del infinito actual. Y peor aún, que vengan sus fanes, a pretender que identifiquemos, una cantidad propiamente numérica ( pormenorización al respecto ) a una cantidad propiamente un conjunto inductivo ( pormenorización al respecto ).

Numérico: relativo a los números ( pormenorización al respecto ) – ver algunas diferencias significativas en juego ( pormenorización al respecto ).

Número: concepto que representa:
§  una específica cantidad – respecto de su unidad –.
§  una específica posición – respecto de su sistema coordenado –.
§  un específico ordinal – posición respecto de su sucesión ordenada –.
§  una específica elucubración de algún matemático trasnochado, para quien: su absurdo no parece tener un límite bien definido.
§  

(Propiamente numérico) vs (propiamente un conjunto inductivo): (síntesis)
Aunque obvia, para mí, la diferencia entre ambas características. Dado que, al parecer de tanto “sabedor/experto” en el tema: no resulta suficientemente obvia. Veamos. Básicamente. El primero, remite a una específica coordenada dentro de un sistema de coordenadas/específica instancia en una secuencia/específica posición en una sucesión/afines – una instanciación (cuantitativamente precisada/simbólicamente referenciada) y en ello concebible –. Mientras que, el segundo, remite a una específica sucesión/colección infinita de elementosun inacabable-acabado y en ello inconcebible ( pormenorización al respecto ) –. Ergo: actualmente, considero conceptualmente disruptivo, identificar ambas características – es decir: capaces de ser usadas indistintamente en la conceptualización del infinito ( pormenorización al respecto ) – en el infinito. Incapacidad que, sintetiza mi justificación respecto de la, siendo extremadamente generoso, irreconocida confusión que suele darse entre los conceptos de infinito y transfinito ( pormenorización al respecto )sea, a nivel divulgativo o “experto –.

Conjunto inductivo: (principio de inducción matemática – basado en el 5to axioma de Peano –)
Un conjunto de números ( pormenorización al respecto ) (S) – subconjunto de los números reales –, es un conjunto inductivo, sí y sólo sí, (S) tiene las siguientes propiedades:
1)    (1) Є S.
2)    Si (a) Є S ® (a+1) Є S {: Sucesor(a) = a’ Є S}.
Un ejemplo de conjunto no-inductivo seria: S´= {1, 3, 5, 7,...}, dado que, si bien (1) Є S´, (1+1) !Є S´.
Definición.01: dado un conjunto (a), el sucesor de (a) es (a’ = aÈ{a}). Esto sería equivalente a decir que: (a®a’).
Definición.01: dado un conjunto (a), el sucesor de (a) es (a’ = aÈ{a}). Esto sería equivalente a decir que: (a®a’).
Definición.02 (ordinales por clases de equivalencia):
1er. ordinal (finito):           0=f.
2do. ordinal (finito):          1=f’={f}.
3er. ordinal (finito):           2=f’’={f,{f}}.
4to. ordinal (finito):           3=f’’’={f,{f},{f,{f}}}.
1er. ordinal (transfinito):    w=f={f,{f},{f,{f}},…} = À0 [ infinito actual ].
2do. ordinal (transfinito):    (w+1)=f(∞+1)={f,{f},{f,{f}},…, {f}}.

(w+w)=f(∞+∞)={f,{f},{f,{f}},…, f,{f},{f,{f}},…}.

(2w+1).

(2w+w).

(w*w).

(w^2+1).

(w^2*w).

(w^3+1).

(w^w).

(w^w+1).

(w^w^w^…).

… ¿infinito potencial? ].

Ver algunas diferencias significativas en juego ( pormenorización al respecto )
Nota: dependiendo de la Hipótesis del Continuo, tenemos que: (Àx^Àx=2^Àx=À(x+1)cardinales regulares)). Y (Àx<2^Àx), así como ((Àwprimer cardinal singular)=2À0). 

Principio de inducción matemática:
"ΠN: [p(n)=v], si se cumplen las siguientes condiciones:
1)   Verificamos que: [p(1)=v].
2)   Hipótesis de inducción: se supone que: [p(k)=v] para (k>x) Î N.
3)   Tesis de inducción: se demuestra – empleando el método deductivo – que: [p(k+1)=v] – o bien que: [p(k)=v]®[p(k+1)=v] –.  
¿Que demuestra en última instancia este método?que si [p(k)=v], entonces [p(k+1)=v].
Ejemplo:
Proponemos que: p(n): 1+3+5+…+(2n-1) = n^2.
1)   Verificamos que: p(1)=1=1^2 ® “p(v)=v”.
2)   Suponemos que: p(k)=1+3+…+(2k-1) = k^2 ® “suponemos a p(k)=v”.
3)   Demostremos que se verifica para: p(k+1) ® “p(k+1)=v”.
Para ello, sumemos a cada miembro: (2(k+1)-1) – consecuencia de agregar el siguiente término de la sucesión –: 1+3+…+2(k-1)+(2(k+1)-1) = k^2+2(k+1)-1.
Operando el 2do miembro: k^2+2k+1 = (k+1)^2.
Conclusión: p(k+1) = 1+3+…+2(k-1)+(2(k+1)-1) = (k+1)^2 = v.

5to. axioma de Peano:
Si un conjunto de números naturales contiene al cero/uno y a los sucesores de cada uno de sus elementos, entonces: contiene a todos los números naturales.
§  Denotemos P(n) como: (n) cumple la propiedad (P), siendo (n) un natural.
§  Supongamos que P(0) es verdadero, y supongamos además que: Si P(n) es verdadero, entonces: P(n+1) es también verdadero.
§  Entonces, (P) se cumple para todo natural (n).

Axioma del infinito: (apela a la inducción matemática)
Un conjunto es infinito, si puede ponerse en correspondencia biyectiva con un subconjunto propio de sí mismo.

Numerable:
Un conjunto (infinito) es numerable si puede ponerse en correspondencia biunívoca (1 a 1) con los naturales.
§  En teoría de conjuntoscontar es establecer una biyección con los naturales.
§  

Numerar: contar los elementos de un conjunto siguiendo cierto orden.

Enumerar: listar los elementos de un conjunto en forma sucesiva y ordenada.
§  Aunque, con posterioridad a Cantor, enumerar ahora sería: establecer una biyección con dominio en los naturales.

Serie matemática:
Generalización de la noción de suma a los términos de una sucesión – básicamente: una sucesión de sumas –.

Sucesión numérica:
Una sucesión numérica se formaliza como una aplicación de los números Naturales sobre otro conjunto numérico.

Demostración matemática:
Sucesión finita de proposiciones verdaderas, obtenidas unas de otras mediante reglas de inferencias – a excepción de: premisas, teoremas e hipótesis –; con la intención de demostrar si nuestra hipótesis, es consistente con el resto del sistema axiomático.
§  Axioma: proposición evidente – aceptada sin demostración formal –.
§  Postulado: proposición ni evidente ni demostrada formalmente – no son tautologías –, aunque considerada necesaria.
§  Teorema: proposición no evidente demostrada formalmente.
§  Lema: teorema que se propone como regla de inferencia.
§  Corolario: lema empleado en la construcción de una demostración formal corta.
§  Conjetura: proposición ni refutada ni demostrada formalmente – no son tautologías –, aunque tomada provisionalmente como verdadera. Por ejemplo, la conjetura De Goldbachtodo número par mayor que dos puede escribirse como suma de dos números primos – ej.: 4=2+2; 6=3+3; 8=3+5; 10=3+7=5+5; 12=5+7; 14=3+11=7+7 –.

Número transfinito:
Términoempleado para referirse a ordinales ( pormenorización al respecto ) y cardinales ( pormenorización al respecto ) infinitos ( pormenorización al respecto )propiamente un conjunto inductivo ( pormenorización al respecto )(es decir: propiamente no-numérico) –, que resultan ser mayores que cualquier número Natural.
Notas:

§  Cantor, pretende reducir los elementos de un conjunto, a solo su tamaño/cantidad – es decir: tratarlos simplemente como unidades –. Considerando, como equivalentes a todos aquellos conjuntos que tengan el mismo tamaño – es decir: idéntica clase –. De esta forma, pretende evitar el absurdo ( pormenorización al respecto ), de referirse a la cantidad de elementos, puesto que ello implicaría, asociarle un número, que a fin de cuentas seria finito.

Aunque, al tratar esta representación de clase de equivalencia, como el último elemento inalcanzable de una lista infinita y acabada de solo cantidades – propiamente numéricas ( pormenorización al respecto ) –, se le fue la olla. Y si, luego pretende comparar sus “tamaños”, con afirmaciones como: (tal clase, resulta ser “menor” que tal otra {independientemente, de todas las comillas que le agregues, y de que no emplea el termino (clase)}), termina por acabar, en el mismo absurdo que pretendió esquivar.

§  A la vista de tantas obviedades que no han sido reconocidas, hare explicito, al menos lo implicado: considero equivocado el identificar el infinitoinfinito potencial –, con el transfinitoinfinito actual.

§  Y recordemos que: en última instancia, dimensionalmente hablando, se presume al infinito-actual como lo parcial/completamente acotado (superior e inferiormente). Y para colmo. Por si no fuese suficientemente problemático/paradójico lo anterior. Tenemos que aceptar incuestionablemente que: los conjuntos numéricos, se presumen acotados no con un número (elemento del conjunto al que pertenece – aunque, solo resta esperar otra trasnochada adaptación –), sino con una elucubración Cantoriana denominada número-transfinito –. Aunque, en no pocas ocasiones, ni siquiera se lo reconozca como tal y simplemente se lo presente como un/el infinito. Y te aguantas. Que, ellos si saben lo que tienes que repetir para no ser considerado acientífico o simplemente un idiota inútil.

§ 

Críticas al respecto:

1)   De la correspondencia biunívoca entre lado y superficie: ( pormenorización al respecto ).

2)   Del teorema de Cantor (TC) y su argumento diagonal (2) (ADC2): ( pormenorización al respecto ).

3)   Del argumento diagonal (1) de Cantor (ADC1): ( pormenorización al respecto ).

4)   De la demostración de no-numerabilidad de (R) empleando el teorema de intervalos encajados (TICE): ( pormenorización al respecto ).

5)   De la demostración de no-numerabilidad de (R) empleando series geométricas convergentes (SGC): ( pormenorización al respecto ).

6)    

Número cardinal: (Transfinito)
Básicamente, representa la clase de equivalencia a la que pertenece un conjunto.
Los cardinales transfinitos ( pormenorización al respecto ) , remiten a los ordinales transfinitos y estos, a un infinito actual –concretado/acabado –. Es decir: son aquellos números ordinales que no tienen la misma cardinalidad que cualquier ordinal menor. O, en otras palabras: la cardinalidad, es independiente de orden de los elementos de un conjunto.
 ]

Número ordinal: (Transfinito: expresión de orden, respecto de una sucesión ordenada)
Básicamente, representa el tipo de orden de un conjunto bien ordenado.
Es decir: un ordinal transfinito ( pormenorización al respecto ), es un conjunto bien ordenado por la relación de pertenencia. Los elementos de un ordinal son ordinales también – en consecuencia: un ordinal, es el conjunto de todos los ordinales menores que él–.
Una clase ordinal, no es para Cantor, lo que actualmente denominaríamos una clase de equivalencia, sino unrepresentante de clase de una clase de equivalencia.
Los números ordinales – según Cantor –, deben respetar las siguientes reglas:
1)   (0), es un ordinal.
2)   Si (a), es un ordinal, su sucesor (a+1) también lo es.
3)   Si {a}, es una sucesión de ordinales, entonces existirá un último ordinal (lim{a}), tal que sea mayor que todo (aΠ{a}.
Critica: Cantor, pretende extrapolar la regla (3) – a mi entender, en forma ad-hoc e improcedente –, asucesiones ordenadas e infinita de elementos. Es decir: puesto que, en una sucesión ordenada y finita de elementos, me presumo capaz de identificar su último elemento (lim{a}), extiendo, dicha capacidad, asucesiones ordenadas e infinitas de elementos – en cuyo caso: o Cantor, posee la capacidad de identificar el mayor elemento de sucesiones ordenadas e infinitas, o posee la capacidad de convencer tardíamente a través de auto-contradicciones –. Agregando, eso sí, que necesariamente se debe entender, tal sucesión ordenada como siendo un infinito actual (concretado/acabado) y en consecuencia, tomar su mayor elemento (lim{a}) como una cantidad – ¿propiamente numérica ( pormenorización al respecto )? – insuperable. ¿Sera acaso, que de no aceptarse, algunas de las anteriores auto-contradiccionesel absurdo Cantoriano podrían hacerse evidente?
 ]

Función inyectiva:
Cuando cada elemento del (Domdominio), se corresponde con al menos un elemento distinto del (Cod:codominio).
§  Una función es inyectiva, si ninguna recta horizontal corta a su gráfica en más de un punto.
§  Ej. de funciones inyectivas (f: R®R): 4x-1, e^x.
§  Ej. de funciones no-inyectivas (f: R®R): x^2, sen(x).
Nota: F: (Dom®Cod).sobreyectiva = F: (Cod®Dom).inyectiva.

Función sobreyectiva:
Cuando cada elemento del (Codcodominio), se corresponde con al menos un elemento del (Dom:dominio).
§  Una función es sobreyectiva, si la imagen de  (f) – Im(f) – coincide con el conjunto final – Y = conjunto final = codominio de la función. O sea, es sobreyectiva, solo si: (Im(f)=Y).
§  Ej. de funciones sobreyectivas (f: R®R): x^3+3, 3x-2.
§  Ej. de funciones no-sobreyectivas (f: R®R): x^2+1, (2+x)^0.5.

Número irracional: (» infinitud continua)
Número poseedor de una expresión decimal infinita no periódica. Según las propiedades de los números racionales (cuerpo), su expresión decimal – resultado de alguna operación matemática o enunciado matemático –, puede aumentar indefinidamente.

Número racional: (» infinitud discreta)
Número poseedor de una expresión decimal finita o periódica – distinta de cero –. Según las propiedades de los números irracionales (cuerpo), su expresión decimal (resultado de alguna operación matemática o enunciado matemático) posee una expresión decimal infinita no periódica.
§  Ningún número racional tiene sucesor ni antecesor.
Nota: dado los números (periódico puro: qp=0,6) y (periódico mixto: qm=0,46), sabemos que:
§  0: es su parte entera – PE(x) –.
§  4: es su antiperiodo – PA(x) –.
§  6: es su periodo – PP(x): no confundir con parte periódica que sería: 6 –.
Y siendo CD(x) la cantidad de dígitos de (x), implica que, la generalización de la fracción generatriz – FG(x) –, de un número racional es:
§  FG(qm) = (trunc(qm*10^( CD(PA(qm))+CD(PP(qm))))-trunc(qm*10^(CD(PA(qm)))))/((9*10^(CD(PP(qp))-1))+(10^(CD(PP(qp))-1)-1))*(10^CD(PA(qp))).
§  FG(qp) = (trunc(qp*10^(CD(PP(qp))))-trunc(qp))/((9*10^(CD(PP(qp))-1))+(10^(CD(PP(qp))-1)-1))*(10^CD(PA(qp))).

Número Real:
Número poseedor de expresión entera finita y expresión decimal finita o infinita – por el contrario, un número natural solo es poseedor de una expresión entera finita –.
§  En este conjunto no están definidas las raíces de orden par de números negativos ni la división por cero – y claro, infinito no es un número real –.
§  También podrían definirse como: el valor – propiamente numérico ( pormenorización al respecto ) – de un límite convergente (sucesión de Cauchy en los reales).
§  Y dado que, los números reales son una extensión de los racionales: podríamos definirlos como clases de equivalencia de sucesiones convergentes de racionales.
§  Ningún número real tiene sucesor ni antecesor.
§  

Uso de intervalos encajados en la representación decimal de un número real:
Usando los dígitos del (0 a 9) podemos expresar cualquier número real, por ej.: (x=3,1415…=3*10^0+1*10^-1+4*10^-2+1*10^-3+5*10^-4…). Que en nuestro caso, nos restringiremos exclusivamente a su expresión decimal.
§  Dado que, (x>o Є R) demostraremos que existe un sistema encajado con extremos racionales – bajo la condición (|I(n)|®0) –, que nos permite aproximar cualquier (x) por una sucesión de números racionales.
§  En tal contexto: $ a(0) Є N / a(0)≤x<a(0)+1 ® 0≤10(x-a(0))<10 ® que para 10(x-a(0)), $ un único a(1) Є N, y será 0≤a(1)≤9 / a(1)≤10(x-a(0))<a(1)+1 ® a(0)/10^0+a(1)/10^1≤x<a(0)/10^0+a(1)/10^1+1/10^1.
§  0≤10(x-a(0))-a(1)<® 0≤10^2(x-a(0))-(10*a(1))≤10 ® $ un único a(2) Є N, y será 0≤a(2)≤9 / a(2)≤10^2(x-a(0))-(10*a(1))<a(2)+1 ® a(0)/10^0+a(1)/10^1+a(2)/10^2≤x<a(0)/10^0+a(1)/10^1+a(2)/10^2+1/10^2.
§  

Dado que, la amplitud de los intervalos es 1/10^n y por ello las dos sucesiones de los extremos tienen el mismo limite.

Es decir, este procedimiento – seguido hasta el infinito –, construye una sucesión de intervalos cerrados y encajados ({a(n)}) donde (I(n)=[a(n), b(n)]):
§  a(n)=a(0)*10^0+a(1)*10^-1+a(2)*10^-2+…+a(n)*10^-n » 0,1+0,14+0,141+…+0,14159+…
§  b(n)=a(0)*10^0+a(1)*10^-1+a(2)*10^-2+…+(a(n)+1)*10^-n » 0,2+0,15+0,142+…+0,14160+…
Más precisamente (I(n)=[a(n)*10^-n(a(n)+1)*10^-n] – lo cual, a mi entender, haría matemáticamente imposible el que (a(n)=x=b(n)); pero bue…). Y a consecuencia de (|I(n)|®0), sentenciamos que: este procedimiento referencia a un único número real (a(n)=x=p=b(n)).





En la imagen anterior, construimos – potencialmente hablando – la sucesión de intervalos cerrados y encajados({a(n)}) – específicamente de números racionales –, que debería contener a nuestro (x). Y siendo que, la longitud de cada intervalo tiende a cero, la intersección de todos ellos resulta ser un único número real {a mí, no me miren}, en nuestro caso: (p) – y por lo mismo: un único punto –.
§  {a(n)}=[0, 100]Ì[3, 4]Ì[3,1, 3,2]Ì[3,14, 3,15]Ì[3,141, 3,142]Ì[3,1415, 3,1416]Ì

Convención matemática:
Básicamente, acuerdos – considerados por la “comunidad matemática” – necesarios para que el conjunto de teorías matemáticas mantenga su coherencia – incluido sus respectivos aparatos simbólicos y algorítmicos –.

Teorema de Cantor-Schroder-Bernstein:
Dictamina un criterio para establecer si existe una función biyectiva entre dos conjuntos cualesquiera (A y B):para cualesquier conjuntos (A y B), si existe una función inyectiva de (A en B) y existe una función inyectivade (B en A), entonces existe una correspondencia biunívoca entre (B y A).
Otros teoremas de la teoría de conjuntos:
§  Todo conjunto infinito, tiene, al menos un subconjunto numerable.
§  Todo subconjunto de un conjunto numerable, es numerable.
§  La unión de todos los conjuntos disjuntos numerables de una familia numerable, es numerable.
§  El conjunto de los números racionales (Q), es numerable.
§  

Demostraciones de la equipotencia del (0, 1) de (R) y (R): (someras)
§  Para demostrar la equipotencia del intervalo abierto (0, 1) en R y (R), basta representar la aplicación f: ((0, 1)®R), así definida: f(x)=-(1/x)+(1/1-x); para reconocer su biyección; entonces: Card((0, 1))=Card(R).
§  Sea el intervalo abierto (0, p) en R y la función: f(0, 1)®(0, p): x®y=f(x)=(x*p), que transforma y establece una biyección entre los intervalos; luego: (0, 1)»(0, p).
Sea ahora la función f: (f(0, p)®R): x®y=f(x)=cotangente(x), que transforma y establece un biyección entre el intervalo y (R); entonces: (0, p)»R.
Siendo que f: (X®Y) significa: la función (f) mapea el conjunto (X) al conjunto (Y). O sea: x®y=f(x)={por ej.: x^2}.

Johann Carl Friedrich Gauss (04/1777-02/1855) vs Georg Ferdinand Ludwig Philipp Cantor (03/1845-01/1918):

§  (carta de Gauss): ... Protesto, en primer lugar, por el uso de una cantidad infinita como completa, lo que nunca se permite en matemáticas. El infinito es sólo una forma de hablar.

§  ... en primer lugar debo protestar contra el uso de una magnitud infinita como una cantidad completa, que nunca se permite en las matemáticas. El infinito es sólo una forma de hablar, en la que realmente se está hablando en términos de límites, a los que ciertas relaciones pueden acercarse tanto como se desee, mientras que a otras se les puede permitir aumentar sin restricción.

§  Protesto contra el uso de la magnitud infinita como algo completado, que nunca es admisible en las matemáticas. El infinito es una mera forma de hablar, el verdadero significado es un límite al que se acercan ciertas proporciones se acercan indefinidamente, mientras que a otras se les permite aumentar sin restricción

§  


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[ potencial-refutación de (TICE) ] --------------------------------------------
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Críticas respecto de la demostración de no-numerabilidad de (R) empleando el teorema de intervalos encajados


-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- [ Bosquejo ]

Asumidos, como significativos los siguientes puntos:

§  [0] el teorema de intervalos encajados demuestra (x TICE) que (½R½>½N½) ( pormenorización al respecto ).

§  [1] esta demostración por el teorema de intervalos encajados acarrea un razonamiento no-sólido travestido de reducción al absurdo ( pormenorización al respecto )Dado que: su premisa (VCUIEresulta, cuanto menos, dudosa.

§  [2] otras problemáticas/limitaciones de estos métodos ([NTyPE] ( pormenorización al respecto )[IAESIP] ( pormenorización al respecto )[CCIII] ( pormenorización al respecto )[IIFS] ( pormenorización al respecto ) y [EIEFSE] ( pormenorización al respecto )).

Concluyo que: esta demostración por teorema de intervalos encajados – en última instancia [0] –, deberían considerarse como metodológicamente inválida – respecto de su capacidad de comparar propiedades entre conjuntos o de la cantidad de sus elementos – tan solo por [1] – aunque, no debería desestimarse el resto de problemáticas/limitaciones de estos métodos –.
Nota: dado que, desde hace décadas, vengo compartiendo distintas versiones de [1] – así como el del resto de problemáticas/limitaciones de estos métodos – ante “sabedores/divulgadores/expertos” como una manifiesta e invalidante obviedad sin éxito alguno, en no pocas ocasiones, he llegado a dudar seriamente de mi cordura/capacidad analítica. Puesto que. Me resisto a creer que: ni por si mismos – poseedores de tan excelsa “capacidad analítica” según sus devotos (máxime en grupo) – ni por reiterada puntualización de mi parte, sean incapaces de reconocer tal manifiesta e invalidante obviedad.

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Método (DEIUR): 
La demostración de equipotencia entre el intervalo unidad (0; 1) de (R) y (R), remite a encontrar una función – en este caso: una composición de ellas – que pongan en correspondencia uno a uno dicho intervalo y (R). Como por ejemplo:

§  La primera, es la función (f(x)=p(x-1/2)), que establece una biyección entre el intervalo (0; 1) y el intervalo (-p/2; +p/2). Es bien sencillo demostrar que esta función es biyectiva, es decir, que pone en correspondencia uno a uno a esos dos intervalo.

§  La segunda, es (f(x)=tg(x)). Esta función es una biyección entre el intervalo (-p/2; +p/2) y (R), es decir, pone en correspondencia biunívoca ese intervalo con el conjunto de los números reales.

Realizando la composición de ambas construimos una biyección entre el intervalo (0; 1) y (R). Por tanto, en tal contexto, se afirma que: ambos conjuntos comparados poseen el mismo cardinal – es decir: resultan ser equipotentes –.

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Método (TICE): 
[0] Remite a una presunta (RAreducción al absurdo) que demuestra su teorema.

§  Teorema: [0; 1] es no-numerable ® (x DEIUR) que: (R), es no-numerable.

§  Demostración: dado que, resulta suficiente demostrar que el intervalo (0; 1) de (R) – en adelante solo [0; 1] – es no-numerable. Suponemos lo contrario, es decir que: [0; 1] es numerable. Luego, según G. Cantor, podemos construir una numeración/listado de sus elementos – es decir: una supertarea ( pormenorización al respecto ) – y en ello, afirmar que: ([0; 1]={x(0); x(1); x(2); …}). Tomemos, para ello, el elemento (x(0) Î [0; 1]) y encontremos un intervalo cerrado (I(0) Ì [0; 1]) tal que (x(0) Ï I(0)). Procedemos ahora a: encontrar un intervalo cerrado (I(1) Ì I(0)) tal que (x(1) Ï I(1)). Claramente, podemos encontrar estos intervalos cerrados y en general, encontrar un intervalo cerrado (I(n) Ì I(n-1)) con la propiedad de que: (x(n) Ï I(n)) – es decir: con el método constructivo anteriormente descripto (VCUIE: variante Cantoriana del uso de intervalos cerrados encajados)afirmamos poder enumerar/listar todos los números/elementos de [0; 1] (ver [IIFS] ( pormenorización al respecto )) –. Ergo: los intervalos (I(n)), constituyen una familia de intervalos encajados – y en ello, resulta susceptible a las conclusiones {¿o serán confusiones?} del (TIEteorema de intervalos encajados ( pormenorización al respecto )) – y de ello, podemos suponer, al hacer su construcción, que la longitud de (In) tiende a cero {¿ninguneando mi crítica respecto (TIE)? Obvio, nada personal} – Críticas.TIE ( pormenorización al respecto ) –. En consecuencia. Por el (TIE), implica que: ([n=0®¥I(n)={x}) – espero, no tener que repetirme tan prontamente (aceptemos que: su intersección es no vacía) –. Como cada (I(n) Ì [0; 1]), entonces: (x Î [0; 1]). Pero entonces: (x=x(k)), para algún elemento de nuestra numeración/listado de [0; 1]={x(0); x(1); x(2); …}. Ahora que, por construcción((x(k) Ï I(k)))®((x=x(k)) Ï [n=0®¥I(n))). Es decir: según (TIE), al menos, existiría un número real (x), que no podrá numerarse/listarse con (VCUIE). Finalmente. Ergo: se afirma que, se constituye una contradicción en (TICE). Y siendo que, nos encontramos en una (RA), de ello, se pretende haber demostrado que: [0; 1] es no-numerable ® (x DEIUR) que: (R), es no-numerable.

§   

[IIFS]: (inconveniente/s de la indefinición de la función sucesor) dado que, en (R), no está definida la función sucesor, el método propuesto por Cantor (VCUIE), procedimentalmente implicano-enumerar/no-listar, un número infinito (si hay suerte: trans-finito ( pormenorización al respecto )de elementos aproximadamente coordenados en ((S[n=0®¥[x(n); x(n+1)])+(S[n=¥®0] [b(n); b(n-1)])) – aunque no siendo reconocido, la cuantitativa e intrínseca incapacidad de listar/enumerar de este método resulta ser equivalente a (((S[n=0®¥(x(n+1)-x(n)))+(S[n=¥®0] (b(n-1)-b(n))))>>1) y en ello, indiferente de la confusión o no atribuible al (TIE) –. 

Críticas.TICE: [1] 

1)   En principio, me gustaría sintetizar lo esencial de (TICE)presunta (RA), cuya hipótesis establece, por (VCUIE), que ([n=0®¥I(n)={f} – dado que, ésta, presume poder listar/enumerar [0; 1] –). Mientras que, por (TIE), al menos, implica que ([n=0®¥I(n)¹{f– es decir: al menos, restará un elemento de [0; 1] sin listar/enumerar por (VCUIE) –). Ergo: se constituye una contradicción en (TICE). Y en ello, se demuestra que: [0; 1] es no-numerable ® (x DEIUR) que: (R), es no-numerable.

2)   Seguidamente, me gustaría se tome en consideración lo vertido en las Críticas.TIE ( pormenorización al respecto )Esencialmente: si bien, su intersección-exacta (potencialidad derivada de las propiedades del conjunto) devendría siendo un único número-real/punto-coordenado/elementojamás dejaran de restar una infinidad de los mismos dada la modalidad de avance. Ergo. Hasta donde creo entender: no debería considerase a (TIE) como una alternativa axiomatización de (R)/demostración de unicidad en (R) – es decir: resulta incapaz de listar/enumerar/alcanzar cada número/elemento/coordenada de un conjunto denso/completo, tan solo, por la modalidad de avance impuesta por (TIE) que impide toda concreción (a(n)=b(n)) –. Máxime, con la aparente liviandad argumental con que es usada/abusada por estos trasnochados.

3)  ...

Finalmente: es decir. En última instancia. Sustento mi critica, en la evidentemente intrínseca incapacidad de (VCUIE) para listar/enumerar [0; 1] – ver [IIFS] ( pormenorización al respecto ) –. Misma que, de ser cierta, presenta a (TICE) como otro abuso de razonamientos no-sólidos travestidos de reducción al absurdo – la no-veracidad, de este tipo de no-razonamientos, remite esencialmente a este punto –. ¿Insuficientemente obvio todavía? Y, en ello, una innecesaria fuente de problemáticas/inconsistencias en la teoría de conjuntos – ¿o será tan solo una selectiva incapacidad comparativa (((R) y P(R)/(P(R) y P(R)))/…)? –. Así como: otro efecto indeseado del matemático trasnochado G. Cantor.

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Teorema de intervalos cerrados y encajados: (p. de intervalos encajados)

§  Teorema: En (TIEteorema de intervalos encajados), sea (I(n)) una sucesión decreciente de intervalos cerrados no vacíos, entonces: ([n=0®¥I(n){f}). Si, como hipótesis adicional, tenemos que: (L(I(n))®0), donde (L(I(n))) denota la longitud del intervalo (I(n)), entonces: ([n=0®¥I(n)={x}) – o sea, su intersección-exacta resulta ser un único número-real/punto-coordenado/elemento (x) –. A dicha sucesión, la denominamos sucesión de intervalos encajados o encaje de intervalos.

§  Demostración: sea (I(n)=[a(n); b(n)]), donde (a(n)≤b(n)) para todo n Є N y sean (A={a(n): n Є N} y B={b(n): n Є N}), entonces: (A≠f≠B). Y dado que, nuestros intervalos cerrados están encajados, se sigue que: (a(n)≤b(m)), para todo n, m Є N. Mientras que, de lo anterior, se deduce que: (A) está acotado superiormente y (B) está acotado inferiormente. Ergo, del axioma del supremo, se sigue que: ($a=Sup(A) y $b=Inf(B)). En consecuencia, ([n=0®¥I(n)=[ab]), que bajo nuestra hipótesis adicional implica que: (a=x=b).

Nota: según parece, este teorema resulta crucial para otros teoremas, como ser: el teorema del valor máximo y el teorema de la continuidad uniforme.

§   

Críticas.TIE:  

§  Pregunta-retórica: ¿se estará confundiendo el análisis de una tendencia con el resultado numérico de una operación aritmética elemental pormenorización al respecto? Ergo. Si bien, considero aceptable el afirmar que: en tal específica modalidad de avance, se tendera indetenidamente a un único número-real/punto-coordenado/elemento. Dado que, dicha tendencia resulta ser indetenible – aun, ante expresiones decimales periódicas puras (diferentes de cero y de diferentes formas de expresar un mismo número exacto) –, nunca dejaran de restar infinitos números-reales/puntos-coordenados/elementos entre los extremos de cada intervalo cerrado y encajado – es decir: por ser progresivamente convergente/decreciente (verificando que su longitud tiende a cero) –. Finalmente. A mi entender actual, se constituye otro paralogismo del equivoco y en ello, invalidante como demostración matemática.

§  Pregunta-retórica: ¿cómo, partiendo de diferentes números reales – sin función sucesor/antecesor (denso en la recta real) –, es posible igualarlos-exactamente (precisión infinita) sin dejar huecos – números reales sin listar/enumerar – en un inacabable proceso de construcción de intervalos cerrados encajados de longitud decreciente (verificando que su longitud tiende a cero) – obviamente, a excepción de: diferentes de cero o nueve (obviamente, en base numérica (10))/(base numérica-1) periódico –? Es decir: dada esta específica modalidad de avance, nunca acontecerá que (a(n)=b(n)). Lo sé. Lo sé. En ocasiones, los trasnochados, superan incluso a Dios. Ni lo anecdótico o circunstancial – sistemas lógicos – logra detenerlos/limitarlos, como si lo hace, en ocasiones, a Dios.

§  

Finalmente. Si bien acepto que: su intersección-exacta (potencialidad derivada de las propiedades del conjunto) devendría siendo un único número-real/punto-coordenado/elemento jamás dejaran de restar una infinidad de los mismos dada la modalidad de avance. Ergo. Hasta donde creo entender: no debería considerase a (TIE) como una alternativa axiomatización de (R)/demostración de unicidad en (R– es decir: resulta incapaz de listar/enumerar/alcanzar cada número/elemento/coordenada de un conjunto denso/completo, tan solo, por la modalidad de avance impuesta por (TIE) que impide toda concreción (a(n)=b(n)) –. Máxime, con la aparente liviandad argumental con que es usada/abusada por estos trasnochados.
Nota: (flor de {x(n)}, ¿no?)

§  [1/0]: es una indefinición aritmética.

§  [0/0]: es una indeterminación aritmética.

§  [1/¥]: no es ecuación aritmética elemental. Dado que, infinito no es una específica cantidad – propiamente numérica – de una específica unidad – propiamente numérica ( pormenorización al respecto ) –. Caso contrario: ¿a qué específico conjunto numérico pertenece infinito? Y nuevamente, en el caso de tomar a infinito como una variable (propiamente numérica) y a (1/¥) como una ecuación algebraica elemental¿a qué específico conjunto numérico pertenece la variable infinita? En todo caso, infinito es un concepto que remite a lo inalcanzable. Mismo que, a mi entender, en matemáticas debería ser excluido de la aritmética elemental – y quizás, restringido al ámbito del cálculo infinitesimal –. Aceptando, solo como una convención matemática, el que: (1/¥=0) – una especie de redondeo en el contexto de la aritmética elemental –. Y sí, en matemática, se aceptan intervalos de un solo elemento: por ej.: [0; 0], siendo su longitud igual a (0) – intervalo degenerado: intervalo que contiene un único elemento (longitud de un intervalo: valor absoluto de la diferencia entre su extremo superior e inferior (│[0; 0]│=│0-0│=0) –.

§  Ver anexo: (DU(x) ( pormenorización al respecto ) y DnoV ( pormenorización al respecto )).

§   

---------------------------------------------------------------------------- [ Anexo ] 

(DU: demostración de unicidad) de (x): una presunta (RA) debido a una presunta comparativa exacta entre distancias – de (14) – y una presunta (RA) debido a un alcanzar lo inalcanzable – de (ac) –.

1)   Aceptando que: (asumiendo (x≠y) Є R y que [n=0®¥I(n)={x, y}).

2)   0£x-y£b(n)-a(n)

3)   0£0│   £®0│ {satisfacer (│x-y│=0), implica ser un mismo número}

4)   0£0       £0

5)   Concluimos que: (x=y) – es decir: una contradicción entre sus premisas y conclusiones –.

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a)   Aceptando que: (A={a(0); a(1); a(2); …} Є R; B={b(0); b(1); b(2); …} Є R y $a=Sup(A) y $b=Inf(B) \ a(n)£a£x£b£b(n) ® ([n=0®¥I(n){f})).

b)   Ahora, ¿será única dicha intersección-exacta? Veamos. Por (RA), se presume que: (((b-a)=e)>0; para un (e) que se presume como fijo. Ergo: (b(n)-a(n))³(b-a); para n Є N))).

c)   En consecuencia (ninguna relación con las problemáticas/inconsistencias devenidas de G. Cantor, ¿verdad? {y si, sarcasmo}), se asombran encontrar que: ((b(m)-a(m))<e; para m Є N “suficientemente grande/absurdo”). Y en ello, una contradicción entre sus premisas y conclusiones. 

Críticas.DU(x):

§  Pregunta-retórica: ¿en (DU(x).3), se está confundiendo el análisis de una tendencia con el resultado numérico de una operación aritmética elemental pormenorización al respecto? Ergo. Si bien, considero aceptable el afirmar que: en tal específica modalidad de avance, se tendera indetenidamente a un único número real. Dado que, dicha tendencia resulta ser indetenible – aun, ante expresiones decimales periódicas puras (diferentes de cero y de diferentes formas de expresar un mismo número exacto) –, nunca dejaran de restar infinitos números reales entre los extremos de cada intervalo cerrado – es decir: por ser progresivamente convergente/decreciente (verificando que su longitud tiende a cero) –. Finalmente. A mi entender actual, se constituye otro paralogismo del equivoco y en ello, invalidante como demostración matemática.

§  De (DU(x).c), pregunta-retórica: ¿no habían determinado un Supremo (a) de (A) y un Ínfimo (b) de (B)? Es decir. Números/elementos del intervalo cerrado (I(n)) considerados como inalcanzables – según procedimiento de iteración (construcción de números/elementos del siguiente intervalo cerrado y encajado) –, restarlos entre sí, para acto seguido afirmar que, resulta valido – y en ello, considerable como parte de una demostración matemática –, construir números/elementos que lo/s supere/n y obviamente al restarlos entre sí, sea menor al (e) previamente fijado por definición como insuperable. Básicamente: por alguna no paradójica razón, tal construcción, no entraría en contradicción con la definición misma de Supremo e Ínfimo. Y en ello, invalidante como constituyente de una demostración matemática {¿selectiva insensibilidad al absurdo del trasnochado?} –. En consecuencia, parece ser otro abuso de la demostración matemática por pseudo-reducción al absurdo. Obviamente, dada la previa capacidad adaptativa trasnochada observada, no me sorprendería que más temprano que tarde: afirmasen descubrir/construir una indiscutible justificación por la cual, no se está constituyendo la anteriormente citada contradicción en (DU(x).c).

§   

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(DnoV: demostración de intersección-exacta no vacía): una presunta (RA) debido a una presunta comparativa exacta entre distancias.

1)   Aceptando que: (A={a(0); a(1); a(2); …} Є R; B={b(0); b(1); b(2); …} Є R; $a=Sup(A) y $b=Inf(B) y asumiendo (ab)) deducimos que:

2)   (a(n)£a y b£b(n))*-1=(-a(n)³-a y b(n)³bque sumando termino a término:

3)   b(n)-a(n) ³b-a³0

4)   ®0│          ³0       ³0 {satisfacer (b-a│=0), implica ser un mismo número}

5)   0                 ³0       ³0

6)   Finalmente. Siendo (a=b), deduzco que: (a(n)£a£b(n) ® a Є ([n=0®¥I(n) ® [n=0®¥I(n){f}). 

Críticas.DnoV:

§  Pregunta-retórica: ¿en (DnoV.4), se está confundiendo el análisis de una tendencia con el resultado numérico de una operación aritmética elemental? Ergo. Si bien, considero aceptable el afirmar que: en tal específica modalidad de avance, se tendera indetenidamente a un único número real. Dado que, dicha tendencia resulta ser indetenible – aun, ante expresiones decimales periódicas puras (diferentes de cero y de diferentes formas de expresar un mismo número exacto) –, nunca dejaran de restar infinitos números reales entre los extremos de cada intervalo cerrado – es decir: por ser progresivamente convergente/decreciente (verificando que su longitud tiende a cero) –. Finalmente. A mi entender actual, se constituye otro paralogismo del equivoco y en ello, invalidante como demostración matemática.

§   

(Ver recubrimiento ( pormenorización al respecto )).

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Formas de escribir conjuntos:
§  Por extensión: el conjunto queda determinado por el listado de sus elementos. Ej.: A={1, 2, 3, 4}.
§  Por comprensión: el conjunto queda determinado identificando una propiedad común a sus elementos. Ej.: A={x: x, es un número entero positivo menor a 5}={1, 2, 3, 4}.

Conjunto vacío:
Un conjunto es vacío, si carece de elementos – Card(f)=0, por ende es un conjunto finito –.

Contradicción lógica: (contexto lógico bivalente)
En lógica proposicional, una contradicción (inconsistencia entre proposiciones, ej.: hace frio y no hace frio) se define como una fórmula que resulta falsa para cualquier interpretación (asignación de valores de verdadque se haga a sus fórmulas atómicas). Según este criterio:
§  Ø((A=A)=v)=f {toda contradicción, es la negación de una tautología}.
§  ((A=A)=v)=Øf {toda tautología, es la negación de una contradicción}.
§  Absurdo (contradicción lógica): ((H=(A+ØA))=f).
§  

Reducción al absurdo (método de demostración lógico): (contexto lógico bivalente)
Si intentando demostrar la veracidad de (H), partimos de (ØH=v o H=f) y arribamos {mediante la concatenación de inferencias lógicas validas} a que (ØH=f o H=v) {o sea, arribamos a una contradicción lógica}; en tal contexto concluimos que (H=v).
Dimensionalidad:
Número relacionado con las propiedades métricas o topológicas de un objeto matemático. La dimensión de un objeto, es una medida topológica del tamaño de sus propiedades de recubrimiento.
§  Recubrimiento (matemática):
En matemática, una colección de subconjuntos (A) de un conjunto (X), es un recubrimiento, cubrimiento o cubierta de (X), si la unión de los elementos de la colección (A) es igual a (X) - ver ( pormenorización al respecto ) -.
§  
Nota: en mi caso, empleo este término, debido al grado de adecuación con lo que intento representar. En esencia, la propiedad de recubrimiento que considero poseen todos los conjuntos – en particular los numéricos –, respecto de un patrón que les contenga. Sintéticamente, todas las distancias – permitidas por las propiedades de dicho conjunto – que desde el origen de coordenadas pueden ser alcanzadas, respecto de por ejemplo:la recta real acabada.

Espacio métrico:
En matemática, un espacio métrico – espacio topológico – (X: puntos, d: métrica) es un conjunto junto con una función distancia (porque cumple con unas propiedades concretas atribuidas a las distancias) definida sobre él, de modo que cualquier par de puntos (o elementos) del conjunto están a una cierta distancia asignada por dicha función.
§  En análisis matemático, un espacio métrico (X, d) se dice que es completo si toda sucesión de Cauchy converge, es decir, existe un elemento del espacio que es el límite de la sucesión.
§  

Axiomas de orden:
Los axiomas de orden permiten comparar números reales del siguiente modo: para cada par (a, b) que Є R, se dice que (a) es mayor que (b) o (b) es menor que (a); si y sólo si (a-b) Є R – equivalentemente (a-b)>0 (lo anterior se denota por: (a>b o b<a) respectivamente) –. A consecuencia la ley de tricotomía (comparabilidad entre elementos de un conjunto), se enuncia de la siguiente forma: para cada par (a, b) Є R, se tiene una y sólo una de las siguientes condiciones: (a>b o a<b o b=a).
Los axiomas de orden son: (para todo (a, b, c) Є R)
§  Tricotomía: Se da una y solo una de las siguientes relaciones: o (a>b) o (a<b) o (b=a).
§  Transitividad: si (a<b) e (b<c), entonces: (a<c).
§  Preserva orden bajo adición: si (a<b), entonces: ((a+c)<(b+c)).
§  Preserva orden bajo multiplicación: si (a<by) y (c>0), entonces: ((a*c)<(b*c)).
§  

Relaciones de orden en conjuntos:
 ]

Axioma de Arquímedes: (propiedad Aquimediana de la suma en (R))
 ]

Axiomas de continuidad:
 ]

Axioma del supremo: (ningún valor de sus elementos supera al de su supremo)
Propiedad que establece al campo de los números reales como un espacio completo (propiedad de continuidad):todo conjunto (A≠f) de reales, acotado superiormente; posee un supremo, es decir, existe un real (s) tal que (s=supremo).
Tener supremo, equivale a ser un cuerpo completo – axioma de completitud/continuidad viene siendo un corolario del axioma del supremo –.
§  ¿(Q) tiene supremo?
Si tomamos el conjunto {0, 2^0,5}, éste tiene supremo en (R) – siendo dicho supremo: 2^0,5 –; mas no lo tiene en (Q). En (Q), dicho conjunto seria {0, 2^0,5}  Q={q Є Q: 0<q<2^0,5}; el cual no tiene supremo en (Q). Pues, el único candidato a serlo sería (2^0,5); pero este !Є Q.
§  ¿(N) tiene supremo?
Los números naturales, nos son acotados superiormente.
 ]
§  ¿(R) tiene supremo – siquiera está acotado –?
 ]
§  Corolario del axioma de continuidad en (R):
Sea SÌR, si $M=Sup(S) ® dado (e>0) para e Є S, $Є S / s-e<M.
Representación: siendo S:[0, 1], disponemos las variables así: [0… (e)... (1-e)...(M)...1]. O sea, independientemente del (e) que elija, siempre quedaran infinitos números entre (1-e y 1) ® L(I[1-e, 1])>0.
§  Otras definiciones de la teoría de conjunto:
Sea SÌR y CI/CS: cotas inferiores y superiores respectivamente, definimos:
ü  Definición 01:
Para todo a, s Є S, se dice que (a) es cota inferior de (S), si para todo (s): (a≤s). Si existe alguna cota inferior para (S) diremos: (S) está acotado inferiormente.
ü  Definición 02:
Para todo b, s Є R, se dice que (b) es cota superior de (S), si para todo (s): (b³s). Si existe alguna cota superior para (S) diremos: (S) está acotado superiormente.
ü  Definición 03:
Si (S) está acotado inferior y superiormente, diremos que es un conjunto acotado.
ü  Definición 04:
Diremos que un conjunto (S) posee ínfimo – inf(S) –, si CI≠f. Dado (m) Є R, se dice que (m) es ínfimo de (S), si m=mayor de (CI). Si acaso m Є S, entonces: (m) es mínimo de (S).
ü  Definición 05:
Diremos que un conjunto (S) posee supremo – sup(S) –, si CS≠f. Dado (M) Є R, se dice que (M) es supremo de (S), si m=menor de (CS). Si acaso M Є S, entonces: (M) es máximo de (S).
§  Condición de Cauchy:
Se dice que una sucesión {x(n)} satisface la condición de Cauchy, si para cada número positivo (e>0), existe un numero natural m(e), tal que, para todo p, q Є N con (p y q³m(e)), se verifica que abs(x(p)-x(q))<e.
ü  Sucesión convergente: cuando dos términos de la secesión pueden ser arbitrariamente próximos, ésta converge – según la condición de Cauchy – a algún lımite.
ü  Propiedad de las sucesiones convergentes: de existir el límite de este tipo de sucesiones, éste es único.
§  

Hipótesis del continuo:
En el contexto de los transfinitos ( pormenorización al respecto ): el conjunto de los números reales (2^(alef-0)infinito continuo) tienen un cardinal transfinito mayor al conjunto de los números naturales (alef-0infinito discreto). Ahora, ¿existe algún número transfinito entre ellos (alef-0 < card(A) < 2^(alef-0))?

Numero complejo:
Extensión de los números reales creada para dar cuenta de todas las raíces polinomiales (valores que anulan un polinomio – ceros del polinomio –), algo inalcanzable para los números reales. Suelen representarse como: la suma de un número real y un número imaginario (que es un múltiplo real de la unidad imaginaria), o en forma polar.
¿Qué número multiplicado por sí mismo resulta negativo?
§  X^2-2=0 ® x=(2)^0,5=(+/-)1,414213562373095, por convención se establece que x=(2)^0,5=1,414213562373095 {polinomio con ceros reales}.
§  X^2+2=0 ® x=(-2)^0,5=1,414213562373095i {polinomio sin ceros reales}.
§  X^2+4=0 ® x=(-4)^0,5=2i {polinomio sin ceros reales}.
Siendo: i^0=1i^1=(-1)^0,5i^2=((-1)^0,5)^2=-1i^3=i*i^2=-ii^4=i^2*i^2=1.
Cardinalidad de (C): (Card(C)=Card(R))
Sí (Card(R)=2^(0) y Card(C)=Card(R*R)=Card(R)^2® (Card(C)=Card(R)^2=(2^(0))^2=2^((0)*2)=2^0=Card(R)).

Según Cantor, ¿los infinitos números naturales – conjunto no denso – se agotarían antes de siquiera poder correlacionarse biunívocamente con los infinitos números reales del Intervalo Unidad –conjunto denso en (R) –; sin embargo alcanzarían (exactamente) a correlacionarse biunívocamente con los infinitos números racionales – conjunto denso en (Q) –?
§  Cierto, cierto. Solo son números transfinitos ( pormenorización al respecto )  propiamente un conjunto inductivo ( pormenorización al respecto ) –: cardinales y ordinales, y no una cantidad – propiamente numérica –. Ahora, ¿será esa la forma en que se los presenta?, uhm…
§  Divulgarizando: los elementos del conjunto de los números reales son más que los elementos del conjunto de los números naturales – sintéticamente: ¿la cantidad – propiamente numérica ( pormenorización al respecto ) – de números reales es mayor que la cantidad – propiamente numérica – de números naturales? – {pero, ¿no eran ambos conjuntos infinitos?, uhm…}. Bien, entonces: ¿existen infinitos más grandes que otros?, ¿existen mayor cantidad de números reales que de números naturales? No. No, nene no: tan solo, existen en – teoría de conjuntos – números transfinitos (cardinales y ordinales) mayores a otros – es que dicen por ahí que:infinito no es una cantidad (propiamente numérica) –. ¿Y si, matematizamos un poco?
§  Matematizando: el cardinal del conjunto de los números reales, es mayor que el cardinal del conjunto de los números naturales. Pero entonces, ¿era que existen números transfinitos más grandes que otros?
Bien, luego de tanta confusión – exclusivamente mía por supuesto –, propongo dejar al infinito donde debe estar. Es decir, más allá de los matemáticos trasnochados.
¿Exactamente qué cantidad – propiamente numérica – de números racionales existe entre dos racionales (arbitrariamente próximos)?
§  

¿Será posible determinar el sucesor – propiamente numérico ( pormenorización al respecto ) – de un número real?
§  Relación de orden en conjuntos numéricos:
En el conjunto de los números naturales hay una relación de orden, dado un número natural mayor a uno, este tiene un antecesor y un sucesor, esta idea se hereda al conjunto de los números enteros y este orden a su vez es heredado al conjunto de los números racionales.
Entonces, ¿está definida la función sucesor en los números racionales e irracionales?
Respuesta: pues, opino que: No. Dado que, por ej.: el sucesor de (x: 0,2), depende del incremento (DЄ (Q o R)) – distancia a (x) – que arbitrariamente elijamos aplicar a (x). Claro que dicha limitación, no parece evitar que algunos matemáticos (trasnochados); afirmen haberlos listado {ver nota siguiente}.
§  En síntesis: es mi opinión actual que: dado que se consideran como conjuntos densos, la función sucesor no debería poder definirse en ellos. Claro que, eso no evita que podamos determinar entre dos números (distintos) racionales/irracionales cualesquiera (axiomas de orden): si uno es mayor, igual, o menor al otro.
Nota: o sea, es posible ordenar una lista (finita) de números racionales/irracionales (axiomas de orden). Pero desconozco – al menos actualmente –, siquiera como listar – construcción numérica – todos los números irracionales, existentes entre dos números (distintos) cualesquiera de esos conjuntos – por próximos que estos sean. ¿Espero no estar complicando alguna demostración de Cantor?
§  

¿Conocen a alguien que lograra recorrer dos rectas paralelas – por supuesto, dejando de lado su corroboración (empírica)?
§  Axioma de la unicidad representativa: a cada punto de la recta numérica real, le corresponde un único número real.
§  Según las propiedades de los números racionales e irracionales, ambos conjuntos de números constituyen un conjunto denso de puntos. Siendo que, entre dos puntos racionales (por próximos que sean), existen infinitos puntos irracionales que los racionales no pueden ocupar.
§  Corolario: en la recta real acabada (representación geométrica del conjunto de los números reales), existen infinitos puntos (adimensionales) en cualquiera de sus segmentos; sin importar su longitud.
§  Entonces, si nos remitimos al sistema métrico euclidiano, a lo mucho, habrá visto dos segmentos de rectas paralelos. Dado que en dicho sistema métrico, ver dos rectas paralelas; implicaría recorrer una longitud infinita. Según dicen, ante esta inconveniencia, Euclides definió recta como: segmento cuya longitud la podemos hacer todo lo larga que queramos {¿un infinito potencial?}.
§  
 
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[ potencial-refutación de (PCC/SGC) ] -------------------------------------
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Críticas respecto de la correspondencia biunívoca entre lado y superficie


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Asumidos, como significativos los siguientes puntos:

§  [0] el proceso de concatenación de Cantor demuestra que (½Lado½=½Superficie½) ( pormenorización al respecto ).

§  [1] esta demostración por el proceso de concatenación de Cantor incurre en contradicción ( pormenorización al respecto )Dado que: necesita de una selectiva y diferenciada capacidad de absorción/expulsión, incongruente con las propiedades de los conjuntos comparados.

§  [2] otras problemáticas/limitaciones de estos métodos ([NTyPE] ( pormenorización al respecto )[IAESIP] ( pormenorización al respecto )[CCIII] ( pormenorización al respecto )[IIFS] ( pormenorización al respecto )[IGIAT] ( pormenorización al respecto )[SMM] ( pormenorización al respecto )[AOIxT] ( pormenorización al respecto ) y [EIEFSE] ( pormenorización al respecto )).

Concluyo que: esta demostración por el proceso de concatenación de Cantor – en última instancia [0] –, deberían considerarse como metodológicamente inválida – respecto de su capacidad de comparar la cantidad de sus elementos – tan solo por [1] – aunque, no debería desestimarse el resto de problemáticas/limitaciones de estos métodos –.
Nota: dado que, desde hace décadas, vengo compartiendo distintas versiones de [1] – así como el del resto de problemáticas/limitaciones de estos métodos – ante “sabedores/divulgadores/expertos” como una manifiesta e invalidante obviedad sin éxito alguno, en no pocas ocasiones, he llegado a dudar seriamente de mi cordura/capacidad analítica. Puesto que. Me resisto a creer que: ni por si mismos – poseedores de tan excelsa “capacidad analítica” según sus devotos (máxime en grupo) – ni por reiterada puntualización de mi parte, sean incapaces de reconocer tal manifiesta e invalidante obviedad.

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¿Será posible poner en correspondencia biunívoca, una superficie con una línea recta, de forma que a cada punto de la superficie le correspondiera un único punto de la recta y recíprocamente?
[0] Pues, según Cantor, sí es posible definir una correspondencia biunívoca entre recta y plano. Básicamente, su demostración consiste en representar cada punto de un cuadrado por un par ordenado de coordenadas en notación decimal. Siendo que, dichas representaciones decimales, son entremezcladas conforme a un procedimiento reversible – ej.: intercalando un decimal de cada par de coordenadas, a fin de construir un único desarrollo decimal, que se asocia a un único punto del segmento rectilíneo (y, adaptando el algoritmo para evitar convenciones matemáticas problemáticas) –. ¡Lo veo, pero no lo creo!, dijo Cantor {de momento, yo tampoco}.
§  (PCC): Procedimiento de concatenación a la Cantor.

§  (Ver recubrimiento ( pormenorización al respecto )).

§  ...


Críticas.PCC:
[1] Claro que, para Cantor, tomar dos construcciones numéricas de infinitos decimales – no nulos – y con ellas construir numéricamente su singular y absurda concatenación reversible, son operaciones aritméticas que cualquiera puede finalizarlas en un tiempo finito – golpe bajo el mío, ¿verdad? {¿estáis seguro de que no se lo merece?} –. Centrémonos un poco – lo sé, dirán que es una potencialidad {pero, ¿qué conveniente no? en ocasiones, se remiten exclusivamente a potencialidades, en caso contrario se remiten obviamente a completitudes/actualidades} –. Disculpen. Tengo que parar de hacer eso. Bien. Ahora que. Intentando ser justo: Cantor, en forma alguna, abusa de los puntos suspensivos para realizar dicha supertarea ( pormenorización al respecto )/hipertarea ( pormenorización al respecto )¿verdad? {y si, sarcasmo}. Sepan comprender. Me es muy difícil dejar de hacerlo. Nuevo intento.
Análisis.PCC: (veamos si puedo expresarlo en forma más convincente)

1)   (PCproceso de concatenación (reversible) – no confundir con compresión –, cuyos conjuntos integrantes/participantes, se presume, poseen idéntica precisión/resolución/cardinalidad). Proceso que: inevitablemente/necesariamente, implica un incremento de la resolución/precisión (DIR) en, al menos, uno de los conjuntos involucrados (elemento/s concatenado/s). Sintéticamente: (DIRinevitable diferencial de precisión/resolución inducido por un (PC)). Ergo: un análisis inductivo, nos demostraría que (((PC)®((DIR) siendo éste, equivalente a (((S[i=1®SCod] (RC=RC+R.Cod[i])-R.Dom)*10))).

2)   De (1): (PC), a lo mucho, puede establecer entre los conjuntos integrantes/participantes: o una función no-Total – no todos los elementos del Dominio poseen una imagen – o una función no-Sobreyectiva. – no todos los elementos del Codominio poseen una pre-imagen –.

3)   (SDCAE: selectiva y diferenciada – en forma alguna sospechosa, ¿verdad? – vedada-capacidad insondablemente-absorbente y limitadamente-expulsora – no sea que ésta, torne en evidente, al necesitar aplicar un (DIR) en su reversibilidad – del infinito). Dicha vedada-capacidad-contradictoria, esencialmente remite a que: en un (PCC), ainfinito, se le concede poseer una (SDCAE) – sea, por un inacabable incremento en su resolución/precisión (aunque, en forma alguna sospechosa {y si, sarcasmo} nunca de su cardinalidad) o sea, por una inacabable extensibilidad de sus límites – y en consecuencia ser un (ØDIR). Es decir: a fin de cuentas, se oculta una contradicción en las selectivas y diferenciadas capacidades que se le conceden al infinito (si hay suerte: transfinito ( pormenorización al respecto )) en un (PCC). Aunque, en nada convenientes/tendenciosas/absurdas ocasiones {y si, sarcasmo}, llega a poseer ciertas limitaciones de absorción/expulsión – por ej.: incapacidad de absorber un transfinito (usualmente confundido con infinito ( pormenorización al respecto )) de mayor cardinalidad {¿poniendo en evidencia la confusión anterior al diferenciar entre infinitos? Que va. Al parecer no realizo milagros} –. Además, no deberíamos desestimar/desconocer la, a razón de (ØPCC), también selectiva y diferenciada capacidad limitadamente-expulsora impuesta – reversibilidad de (PCC) – al infinito. Es decir: expandiéndose, con una resolución menor – incluso infinitamente menor  a la absorbida (ØDIR).

4)   (PCC), pretende ser un (PC) a la Cantor. Ergo: ((PCC)=(PC)).

5)   De (3): (PCC), pretende ser un (SDCAE).

6)   De (5): ((SDCAE.PCC)®(ØDIR)).

7)   De (6 y 1): ((PCC)¹(PC)).

8)   De (7 y 4): en (PCC), se constituye una contradicción ( pormenorización al respecto ). Ergo: (PPC), no debería considerarse como un método de comprobación de equipotencia entre una superficie (un todo) y uno de sus lados (sus partes) – menos aún, de su análogo divulgativoidéntica cantidad de elementos entre parte y todo –.

Sintéticamente: en este específico y somero análisis de (PCC), se constituye una (contradicción ( pormenorización al respecto )). Ergo: (PCC), resulta ser internamente inconsistente y en ello, un método de demostración invalido. Siendo, a mi entender actual, su no-aceptación/invisibilidad, probablemente remitida a una arbitraria elección de gusto antinómico – es decir: hacer caso omiso de que, la concatenación entre elementos de idéntica precisión/resolución, implica necesariamente aumentar la precisión/resolución del elemento concatenado (es decir: de DIR) – y en ello:

1)   o te proponen, como comprobación inapelable y perfectamente convincente, el apelar inespecíficamente (es decir: no-exhaustivamente descriptico/explicado) a lo contra intuitivo/mágico del infinito – donde, inconvenientes absurdos (SDCAE), circunstancialmente dejan de serlo (ver [AACCI] ( pormenorización al respecto )) –. Finalizando en algo afín a un: “y listo”.

2)   o te proponen, como comprobación inapelable y perfectamente convincente, el simplemente invisibilizar el necesario incremento de precisión/resolución del Dominio (es decir: DIRpara contener los decimales/subelementos del Codominio/elementos a concatenar, apelando a pseudo-ejemplos – es decir: in-exhaustivamente abarcadores del problema mencionado {¿“circunstancial abuso” del “actual potencial” de los puntos suspensivos?} – que no dan cuenta de este inevitable problema. Finalizando en algo afín a un: “y listo”.

3)   (adaptación esperada) o te propondrán, como comprobación inapelable y perfectamente convincente, el apelar a la constitución de una regresión infinita de incrementos de precisión/resolución (es decir: imponer, la nueva precisión/resolución de Dominio/elemento concatenado al resto de elementos para la siguiente iteración de la demostración de concatenación), para así, pretender dar cuenta de (DIR) y así, no tener que apelar a (1 o 2). Finalizando en algo afín a un: “y listo”.

4)   
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Nota.1: (¿algo respecto del absurdo original?)
Repito: arbitrariamente decretada/establecida, una densidad completa/continuidad en ambos conjuntos – es decir: sin huecos en su recubrimiento ( pormenorización al respecto ) –, lo de poder establecer o no una función biyectiva entre los conjuntos, así como lo de la presunta comprobación por concatenación reversible, resultan ser irrelevantes/inconducente. La conclusión – equipontencia o no entre conjuntos –, deriva exclusivamente de dicho arbitrario axioma – es decir: propiedad de los conjuntos involucrados: densidad/recubrimiento –. Básicamente. Éstos, resultan ser solo maquillaje matemático – símil: apelar calladamente/subrepticiamente a lo adimensional, presentándolo como siendo otra cosa (comparadora función biyectiva) –. De ahí que, no resista un análisis inductivo (truncado progresivo de dígitos en los conjuntos involucrado) y, en consecuencia, rápidamente terminen, apelando a uno de los mantras trasnochados favoritos: “para el infinitocircunstancialmente todo le es posible (traducción: ¿a poco, creías que la tolerancia a la contradicción {algunos diríamos: apasionamiento} de lo infinito es idéntica a la de lo finito? Que va. Y, ni pienses que disminuye en algún grado nuestra consistencia por ello. Esas, son contradicciones, solo en lo finito. En nuestro modelo, ni siquiera existen. Debes actualizarte. Ya deja ya de preguntarte si: ¿a poco, se acabarán los elementos/componentes de alguno de los conjuntos infinitos (emplearse solo ante epistemólogo: de cardinalidad/ordinalidad diferente), antes que los del otro? Bien, es que: (ver [AOIxT] ( pormenorización al respecto )).
De cualquier forma. ¿Inmunes verdad? Ahora que. Si acaso, creen estar en un aprieto de consistencia. Tan solo, tienen que repetir alguno/s de los mantras anteriores o refugiarse, en que, siempre y exclusivamente se han referido a números cardinales/ordinales transfinitos – de comodín oportuno, nada, ¿verdad? –. Y listo. Orgullosos de su consistencia y rigurosidad en la resolución de estos problemas del infinito, quedan. Les felicito. Excelente, cámara de eco, la que habéis montado en torno a vosotros. ¡La trasnoches al desnudo! Esperando insultos. Me disculpo. Más precisamente, seria: esperando la consensuada y profesionalmente indiscutible “descripción psicológica de un experto en matemática”, respecto de mi conocimiento de estos problemas del infinito y de su relevancia en el diagnóstico diferencial de mi personalidad actual. En tal contexto. Agradecido quedo.
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Nota.2: (¿trasnochada-comprobación geométrica del (PCC)?) existe un análogo geométrico de este irreconocido diferencial de resolución entre los subconjuntos comparados. Donde. Por ejemplo: teniendo un mismo centro geométrico y disponiendo un/a circulo/circunferencia dentro de otro/a. Se conectan, mediante segmentos, dicho centro geométrico y cada punto geométrico del circulo/circunferencia mayor – radio mayor –. Es decir. Geométricamente hablando, necesariamente se estarían conectado cada punto geométrico del circulo/circunferencia de menor radio con el de mayor. Ergo: la cantidad de puntos geométricos del circulo/circunferencia de menor radio es la misma que la de mayor radio. Claro que. Lo que no te precisan estos trasnochados, es que: una cosa, es un punto geométrico (adimensional) y la confusión que su siempre imprecisa representación geométrica (ver [IGIAT] ( pormenorización al respecto )), introduce y otra, es dotar de idéntica dimensionaldad/idéntica resolución (finita/infinita – aunque, a sabiendas, de nivel de insensibilidad a los absurdos que suelen presentar estos trasnochados, no me extrañaría que, ni así reconozcan el absurdo de su propuesta –) a cada punto de las figuras. Siendo que: tan solo, dotando de idéntica dimensionalidad a cada punto dimensional de ambas figuras geométricas, nos percataríamos de que, por cada punto dimensional de la figura geométrica de menor radio pasa más de un segmento – es decir: no se constituiría una función no-inyectiva – o restarían puntos dimensionales de la figura geométrica de mayor radio por alcanzar – es decir: no se constituiría una función total –.

[IGIAT]: (¿insufrible grado de insensibilidad antinómico de los trasnochados?) en algún punto de su argumentación, pretenderán demostrarte el axioma de densidad/continuidad {¿qué le hace un teorema-axioma más al tigre?} – una especie/análogo de adimensionalidad de sus elementos/componentes y por ende, cierta forma de igualación/equiparación/completitud que de ellos, cualquier extensión espacial (contenedor), pueda contener – establecido previamente entre las propiedades del conjunto al que pertenecen y en ello, la equipotencia entre diferentes dimensionalidades espaciales, mediante un método reversible que implica concatenar decimales infinitos presumiblemente igualmente densos/continuos, sin que ello, implique incremento de resolución alguno en la dimensionalidad espacial menos extensa. O alguna variante de lo mismo. Y bue…
Básicamente. Entre los problemas/contradicciones que parecen incapaces de reconocer estos trasnochados, tenemos por ejemplo que, para ellos:

1)   resulta completamente coherente/aplicable, el concatenar, dos infinitudes igualmente densas y completas/continuas, sin que ello, implique un aumento de la resolución/densidad de lo ya completo – es decir: de resolución establecidamente in-incrementable que, por método, necesariamente debería de incrementarse (a sabiendas de que: en ocasiones, si gustan de comparar infinitos y afirmar que existen unos más o menos densos que otros y en ello, decretar que una función biyectiva puede o no aplicarse) {bueno, eso, tampoco me sorprende mucho: ellos se lo cocinan y ellos se lo comen (lastima su poder de infección)} – y para colmo, lo presentan como algo no solo perfectamente/completamente concebible ( pormenorización al respecto ) {ni tan siquiera, suelen diferenciar entre infinito y números cardinales/ordinales transfinitos ( pormenorización al respecto ) cuando te lo presentan} sino que casi o completamente obvio – aunque y es de alegrarse que, para la mayoría de entre ellos, irrealizable en un tiempo finito – {¿consecuencia del abuso de analogías insuficientes?}.

2)   resulta completamente coherente/aplicable {¿consecuencia del abuso de la “reducción al absurdo”?}construir una lista infinita – completa/continua (un infinito actual completamente denso), para luego, aunque solo en convenientes ocasiones (por ej.: no, si pretenden listar/comparar ½P((0, 1) de R)½@½(0, 1) de R½½P(P((0, 1) de R))½@½P((0, 1) de R)½, etc. {resultando esto, capital, en mis críticas respecto del argumento diagonal de Cantor}), te dicen: no seas ingenuo, ¿a poco te creías que eran equipotentes/completas/continuas – bueno, para ser precisos, en general, una de ellas, lo seguirá siendo –? ¿Es que no te enteras de nada? Aprende de los Gaussianos que reconocieron los errores de su dios-matemático (ver [NTyPE] ( pormenorización al respecto ){¿consecuencia del abuso de analogías insuficientes?}.

3)   resulta sorprendente y perfectamente fundante el que, la diagonal principal invertida de una matriz bidimensional finita/infinita (a excepción de alguna inconducente convención matemática) – y si, hubo un matemático español que exigió, denostación mediante, que lo demostrase –no pueda contenerse horizontalmente en sí misma {¿consecuencia del abuso de analogías insuficientes?} (ver [FIO] ( pormenorización al respecto )).

4)   resulta completamente coherente/aplicable que, una tendencia inacabable, en algunas demostraciones que emplean intervalos cerrados encajadosde alguna no-paradójica forma, logran acabar en un único elemento del intervalo – ¿dejando de tender? {lo sé. lo sé. En última instancia, tan solo es un potencial y así lo extrapolan y divulgan, ¿verdad?} –. ¿Confundiendo el resultado de un límite matemático ( pormenorización al respecto ) con el de una operación de aritmética elemental {¿consecuencia del abuso de analogías insuficientes?}?

5)   críticas respecto de la demostración de no-numerabilidad de (R) empleando series geométricas convergentes (SGC): resulta completamente coherente/aplicable, utilizar el límite de una específica serie geométrica convergente (dado que, la razón de dicha específica serie geométrica convergente, es menor que valor absoluto de (1– ver ( pormenorización al respecto ) –) como demostración de no-numerabilidad del intervalo (0, 1) en (R) (https://www.youtube.com/watch?v=hePMBrVSZtw&list=TLPQMTExMTIwMjLtXXijQnbeBg&index=16). Veamos. Como en otros abusos de paralogismos travestidos de reducción al absurdo su invalidez remite a un non sequitur en toda regla. A saber: presumen una correlación biunívoca entre (N) y [0; 1] en (R), para acto seguido y sacándoselo de la galera {¿matemágicaquerias?} – genialidad proclamaran tantos –, proponer: disponer/transponer sobre lo denso y presumido completo – que, en nuestro ejemplo, equivale a una específica longitud-exacta entre puntos coordenados (L[0; 1]=1) –, radios equivalentes a la mitad de los valores de los términos de una específica serie geométrica convergente (r=1/10 y a=1/10 – aunque, bastaría con que (r) y (a) sean menores a (1) –). Básicamente: sobre cada punto coordenado de dicha longitud-exacta disponen/transponen dichos radios {a mí no me miren}. Para acto seguido {¡o sorpresa!}, desestimar por completo del cálculo entre comparativas de longitudes-exactas (innecesaria/insuficiente e inconducente inecuación) a dicha longitud-exacta {es que, arribados a esta instancia ya no resulta conveniente tomarla en consideración, ¿no sea que cuestionemos nuestra consistencia?} y solo considerar como significativo y matemáticamente fundante para dicho calculo a la específica serie geométrica convergente como “el miembro problemático” {¿desbordando matemágicaquerias?} del mismo (1<=(1/10/(1-1/10))<=1/9).

     Sintéticamente: construyen un hombre de paja – innecesaria/insuficiente e inconducente inecuación – para luego congratularse de su refutación. Y para peor. Al parecer – sorprendente, de no ser por la irreconocida tolerancia a la inconsistencia a la que estos trasnochados me tienen acostumbrado –, sin percatarse siquiera de que: el anterior innecesario/insuficiente e inconsecuente método podría aplicarse a intervalos de un mismo conjunto infinito (si hay suerte: trans-finito ( pormenorización al respecto )) o entre diferentes pero presuntamente demostrados como equipotentes en teoría de conjuntos y dado éste, siempre resultaran no-equipotentes. ¿Insuficientemente obvio todavía? Y, en ello, una innecesaria fuente de problemáticas/inconsistencias en la teoría de conjuntos. Así como: otro efecto indeseado del matemático trasnochado G. Cantor.

6)   (pronto más efectos secundarios indeseados e inconsistencias) ...

En definitiva. Debo disculparme por mi falta de fe, en que: para el infinito ( pormenorización al respecto )circunstancialmente todo le es posible {eso sí, eso resulta ser completamente diferente a: “Dios, circunstancialmente todo lo puede”, ¿verdad?}.

[AACCI]: (¿algunos absurdos de lo circunstancial y convenientemente infinito?) independientemente de que, cuando les conviene, los elementos de un conjunto infinito parecen acabarse {¿un inacabable-acabado?} (ver [AOIxT] ( pormenorización al respecto )) – entre otras problemáticas/aporías presentadas como trivialmente coherentes y perfectamente capaces de ser extrapoladas a otros ámbitos –. También se pretende como perfectamente convincente el que: lo completo, no solo necesita arbitrariamente no ser tal (es decir: estarlo), sino ser incluso capaz de contener otras completitudes idénticas. Que a su vez, puedan extraerse permaneciendo tan completas como antes de ser absorbidas a la vez que tan completas como el que la absorbió – por eso de que, circunstancialmente, el (DIR) resulta evitable {en forma alguna arbitrariamente conveniente, claro} –. Todo muy coherente – es que si les dejas, te convencerán de que una circunferencia de radio cero y perímetro infinito resulta ser algo evidente/trivial –. Y, no se preocupen. Lo sé. A pesar de haber presentado en forma tan paródicamente explícita esta obviedad, no espero que logren entender el absurdo que han sostenido y con el que han abusado de la ingenuidad e idolatría de aquellos con un análisis poco agraciadoQuizás, por estar demasiado obnubilados por la infecciosa repetición de mantras matemáticos como el de: infinito más o por infinito es igual a infinito – como si, el infinito fuese un numero al que pudiese aplicársele una operación aritmética elemental {y bueno, que no se diga que no lo he intentado} –, sin siquiera percatarse de que, aun en el mejor de los escenarios en donde se la pretenda derivar, dicha “relación de cantidad” debería restringirse al ámbito del infinito potencial y no al del infinito actual – es decir: seria menos absurdo {obviamente, gusto antinómico mediante} –. De todas formas. Quiero creer que de tanto repetirlo y recibir el confortable eco de pares, es que ustedes mismos terminaron auto-convenciéndose de este absurdo, como no siendo tal. Igual. De momento, no les perdono su insufrible incapacidad analítica.

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[AOIxT](absurda obviedad irreconocida por trasnochados) trasnochados, a sabiendas de que, la casi totalidad de vosotros, parecéis inmunes a reconocer las propias inconsistencias/alegatos especiales/afinesSi deciden aceptar/imponer que: entre una parte y su todo, existe la misma y numérica-cantidad de elementos/componentes – obviamente, consideraría que: seria, significativamente preferible, que hagáis un mayor esfuerzo por diferenciar en vuestras afirmaciones al infinito ( pormenorización al respecto ) de los números ordinales/cardinales transfinitos ( pormenorización al respecto ). Es que, en caso contrario, a uno le entran dudas respecto de vuestras experticias y/o de vuestras intenciones –. Con aceptar/imponer que: dichos elementos/componentes, son adimensionales y que, en tal contexto, no resultan diferenciables sus densidades/resoluciones/recubrimientos ( pormenorización al respecto )/afines. Debería bastar. Pero no. Quizás, debido a que, tal afirmación, les provoca todavía algún ruido (incomodidad analítica) – todavía, no están completamente insensibilizados a las propias inconsistencias/alegatos especiales (reconocidos o no)/afines –. Quizás debido a otra razón. A saber. Mi punto es que: para “demostrarlo” y mejor no hablemos de las analogías que otros divulgan, se meten en irreconocidos entuertos/aporías que acarrean inconsistencias/alegatos especiales (reconocidos o no)/afines. Pero bueno. Como siempre. Ustedes se lo cocinan y ustedes se lo comen – depende de lo que uses/abuses, lo que concluyes/confundes (en ti y/o en otros) –. Aunque, en tal caso, rogaría que: no se presenten como siendo representativos de lo observable/lo consistente capaz de extrapolarse a otros ámbitos. O, al menos, contradigan serlo, cuando otros los presenten como tal. Finalmente. Agradecería encarecidamente que: hicieran un significativamente mayor esfuerzo en no infestar a los milagrosamente no-trasnochados, presentándose como expertos en estos temas sin ponderar adecuadamente el ámbito de sus presupuestos y conclusiones.

Nota: ¿a poco, se acabarán los elementos/componentes de alguno de los conjuntos infinitos (emplearse solo ante epistemólogo: de cardinalidad/ordinalidad diferente), antes que los del otro?, ¿enserio, se acabarán los de al menos uno de ellos? Bien, es que: (ver [EIEFSE] ( pormenorización al respecto ) y [SMM] ( pormenorización al respecto )). Así de coherente, resulta ser este selecto grupo de expertos (matemáticos), al menos a este respecto, cuando profundizas en su irreconocido grado de insensibilidad antinómica/confusión de ámbito – obviamente, la pregunta-retorica anterior, se excluye del infinito-actual (es decir: dimensionalmente hablando, a lo parcial/completamente acotado (superior e inferiormente) –. En parte. Por el anterior sinsentido, es que no considero a la simple biyeccion, como una característica capaz de diferenciar conjuntos infinitos de diferente cantidad de elementos/componentes. Así como tampoco, considero que lo hace, el afirmar sin siquiera incomodarse que: existen infinitos menores/mayores que otros. ¡Aro! ¡Aro! ¡Aro! Calmen ese ímpetu trasnochados. Aunque, ya lo he mencionado. Lo repetiré. Como dicen por ahí: tú te lo cocinas y tú te lo comes. Es decir. Puedes, arbitrariamente elegir algún método para comparar conjuntos finitos/infinitos – al parecer, no necesitan mi permiso para ello –, en principio por las propiedades del conjunto – aunque, puede no ser el caso –. En cuyo caso, derivaría por ejemplo en: como de denso es un conjuntolimitaciones en la construcción de un elemento/número de dicho conjuntocapacidad de recubrimiento ( pormenorización al respecto ) entre conjuntos, etc. De ahí que. Tampoco me preocupa mucho – obviamente, más allá, del absurdo de como presentan su impostura conceptual y el resto de consecuencias indeseables que he mencionado –, el sí: “Cantor, decide denominar como listable/numerable/contable al número transfinito de los Naturales y no-listable/no-numerable/no-contable al resto de números transfinitos” determinando para ello, simplemente si puede establecerse o no, una función biyectiva – aunque si, entre otras cosas, el abuso de la reducción al absurdo que propone, al pretender haber confeccionado una lista, eso sí, con unos muy representativos y completamente convincentes puntos suspensivos, donde se disponen horizontalmente todos los números Naturales {y bue} y todos los números reales del intervalo (0, 1) {a mí no me miren}, para acto seguido, sorprenderse (y, maravillar a tantos devotos) de que puede construir un nuevo número con la diagonal principal invertida del intervalo (0, 1), que obviamente {perdón, ¡debo fingir sorpresa!}no pueda estar contenido horizontalmente {¿a poco, alguna matriz bidimensional puede contener horizontalmente a su diagonal principal invertida (a excepción de alguna inconducente convención matemática)} en su lista –. Pero bien. Continuemos con mi análisis-paródico. ¿Será justo ahora, cuando pretendan difuminar/eliminar sus sinsentidos contra argumentando por ejemplo que: nunca se trató, de una comparativa entre cantidades de elementos (propiamente numéricas ( pormenorización al respecto )) en su sentido estricto o como se le pretenda referenciar/tergiversar, sino de una comparativa entre números cardinales/ordinales transfinitos – es decir: no del infinito potencial, sino de algo conocido como infinito actual, más precisamente, de una comparativa entre ellos {de replanteos improcedentes y/o doble sentidos, nada, ¿verdad?} –? ¿Cómo pueden, tan siquiera osar, dudar de la consistencia y precisión conceptual de los expertos en la materia? Deberíamos de constreñirnos y esforzarnos por incorporar dichas capacidades intelectivas rápidamente {¿capacidades intelectivas trasnochadas?}. Y obviamente, no preguntarnos si: ¿con esa precisión conceptual, lo divulgaron en primera instancia{no se preocupen, ya se adaptarán}. Lo dicho: no hay con que darles/convencerles. Viven en un mundo de irreconocidas idealizaciones inconsistentes/insuficientes y/o replanteos improcedentes ( pormenorización al respecto ), donde, todo parece resultarles perfectamente demostrado/consistente – incluso, en no pocas ocasiones, hasta probado (empíricamente) {de realismo ingenuo, nada, ¿verdad?} –. Es más, si los apuras un poco, hasta obvio les resulta – a ese grado de insensibilidad antinómica nos enfrentamos –. Por eso. Actualmente. Me conformaría con que, antes de mi muerte, al menos, comenzasen a reconocer cierto grado de insensibilidad antinómica – mismo que, según mi experiencia, no dudan en reconocer y señalar negativamente en otros – en sus descripciones ( pormenorización al respecto )/explicaciones ( pormenorización al respecto ) a este respecto. Y así, comenzar a, en el principio, divulgar correctamente, para finalmente, ir eliminando las pseudo-demostraciones y consecuentes pseudo-teoremas que Cantor y sus devotos, han introducido en las matemáticas.

[SMM]: (¿sobrecargado maquillaje matemático?) este método, trasviste y en ello invisibiliza – siendo magnánimo: pretendidamente o no –, que la justificación/razón de equipotencia – absurdo, a mi entender, puesto que: personalmente, soy incapaz de concebir exhaustivamente/acabadamente el número transfinito ( pormenorización al respecto ) (y en ello, no logro entender como comparan cantidades numéricamente infinitas ( pormenorización al respecto ) (sin recurrir a lógicas para-consistente ( pormenorización al respecto ) y/o replanteos improcedentes ( pormenorización al respecto )) máxime, empleando exclusivamente para ello, la simple aplicabilidad o no de una función biyectiva entre los conjuntos comparados). A lo mucho. Aceptaría que: cualquier dimensionalidad (espacial) poseerá/contendrá la tendencia que arbitrariamente sobre ella despleguemos/constituyamos; pudiendo o no ser idéntica a otra –, entre una superficie y una de sus rectas, no remite a una específica correspondencia biunívoca – y en ello, tornando a este método en pseudo-demostrativo – sino, a específicas propiedades de los conjuntos comparados. Apelando, implícita o explícitamente, por ejemplo a: análogos al punto geométrico – es decir: esencialmente, remiten a específicas propiedades de la recta numérica real y en particular, a su densidad completa/recubrimiento ( pormenorización al respecto ) completo – donde, cada coordenada, puede aumentar indefinidamente su resolución. Cualidad esta, donde se pretende ocultar/diluir el absurdo capital de este método, travistiéndola como siendo una simple aplicabilidad o no de una función biyetiva – ver ( pormenorización al respecto ) –.

Nota: una tendencia inacabable/inagotable (para el caso: lo infinito), podrá hacerlo más o menos densamente/rápidamente/afines (acotadamente o no), mas no por ello, tendrá más elementos que otra o tendrá un orden no-arbitrariamente declarado superior a otra – se agradecería que, dicha arbitrariedad, al menos no fuese o tornase rápidamente en inconcebible ( pormenorización al respecto ) –. Obviamente, el grado de confianza ( pormenorización al respecto ) depositado en la anterior conceptualización y análisis, dependerá del grado de insensibilidad al absurdo ( pormenorización al respecto )/lo inconcebible, respecto del infinito actual y las aporías pos-Cantorianas, del cual partamos (axiomática y proceso de traslación de confianzas con el que comulgues). Como parece ser siempre el caso: depende de lo que uses/abuses, lo que concluyes/confundes.

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Definiciones positivas de conjunto infinito:
§  Un conjunto infinito (A), es un conjunto que tiene un subconjunto propio – uno que no es el mismo (A) –, con el que puede ponerse en correspondencia biunívoca.
§  Un conjunto infinito, es un conjunto que no puede ponerse en correspondencia biunívoca con ningún conjunto {1, 2, 3, ..., n} para ningún número natural (n).
§  
Nota: entiendo que, esta potencial-Refutación, problematiza o incluso puede llegar a invalidar las definiciones positivas de conjunto infinito que creo conocer.

Controversia: (hasta donde me he enterado)
Cantor, definió que dos conjuntos tenían el mismo número de elementos: si existía una correspondencia biunívoca entre los miembros de ambos conjuntos. Mientras que, Bolzano, concluyó que: la existencia de dicha correspondencia entre dos conjuntos infinitos (A) y (B), no justificaba la inferencia de su igualdad, en lo referente a la multiplicidad de sus miembros.
[]

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¿Es posible listar – construcción numérica – todos los elementos de un conjunto infinito?
§  Pues, no lo creo posible. Dado que listar – construcción numérica – todos los elementos de un conjunto infinito, implica una tarea inacabable.
§  

¿Es posible listar – construcción numérica – todos los números de un intervalo?
§  Pues, depende del conjunto en cuestión y de la longitud del intervalo. En principio, diría que es posible listar –construcción numérica – todos los números de un intervalo de corta longitud, siempre y cuando, éste no pertenezca a un conjunto denso.
§  

En tal contexto, ¿tiene sentido preguntarse, si una función (f: N ® (0, 1)inexistente (dada su dependencia de la función sucesor – indefinida en conjuntos densos –); es o no biyectiva?
§  

Entonces, ¿qué específica cantidad máxima de dígitos puede contener un número natural o laexpresión entera de un número real?
§  No existe una específica cantidad – propiamente numérica ( pormenorización al respecto ) – máxima de dígitos para estos casos. Por lo tanto, la cantidad – propiamente numérica – de dígitos que puede contener cualquier número, es ilimitada.
§  Recordemos que infinito, no es una muy grande y específica cantidad – propiamente numérica –. Tan solo, hace mención a una tendencia inacabable. Y el análisis de dicha tendencia, puede informarnos si una sucesión o función es: convergente, divergente, oscilante, alterante, monótona creciente (x®+¥) o decreciente (-¥¬x), acotada, etc.
§  Nota: lo ilimitado, remite a la ausencia de límites, que siendo restringido al ámbito de un ciclopermite su finalización – al contrario de lo infinito –.
§  

Entonces, – haciendo a un lado, el que (1/3 y 0,3) sean diferentes formas de representar simbólicamente (expresar) un mismo número – ¿(0,3), es un específico número racional periódico y/o una específica tendencia inacabable? ¿Poseer una específica expresión decimal infinita, viene a denotar una específica tendencia inacabable (es decir: una específica posición inalcanzable) – distancia desde el origen de coordenadas – de la recta real acabada? ¿Qué semejanza tendrá lo anterior con el infinito?
§  (0,3): resulta ser un específico número decimal.
§  (1/3): resulta ser una específica ecuación aritmética elemental cuyo valor aritmético (resultante), es representado (no exhaustivamente) por (0,3). En tal contexto (1/3), posee un específico valor aritmético infinitesimal, que deviene siendo una específica tendencia inacabable.
§  (0,3): resulta no ser un específico número racional periódico en el sentido, en que: no es un número exacto (específico) y en ello, exhaustiva y singularmente coordenable –, sino una específica tendencia inacabable más precisamente: converge indefinidamente, en un específico intervalo cerrado de posiciones de la recta real acabada –.
§  (1/¥): resulta ser la representación simbólica de una específica tendencia inacabable, en el contexto del cálculo infinitesimalsucesión o función – que, analizada en dicho contexto, muestra una específica e inacabable convergencia hacia (0) – siendo, un número exacto (específico) y en ello, exhaustiva y singularmente coordenable .
§  Obviamente, infinito inespecífico proceso inacabable –, no converge, ni tan siquiera a un específico intervalo cerrado de posiciones de la recta real acabada, como si lo hace (0,3) – aunque, como he mencionado, en forma perpetuamente inexacta –.
§  Entonces, ¿aleft-0, es una específica cantidad – propiamente numérica ( pormenorización al respecto ) –? ¿Será que el infinito/aleft-0/aleft-1/etc., par o impar?
§ 

Entonces, ¿aleft-0, es una específica cantidad – propiamente numérica
 ( pormenorización al respecto ) –?

Enfoque (análisis de recubrimiento):

Obligado a comparar infinitos ( pormenorización al respecto ), me pregunto: ¿Serán acaso, más apropiados los términos densidad de elementos y dimensionalidad, al de cardinalidad?

§  N%: los números Naturales, cubren el (N%) de la recta real acabada.

§  P%: los números Pares, cubren el (P%) de la recta real acabada.

§  Z%: los números Enteros cubren el (Z%), de la recta real acabada.

§  Q%: los números Racionales cubren el (Q%), de la recta real acabada.

§  I%: los números Irracionales cubren el (I%), de la recta real acabada.

§  R%: los números Reales cubren el (100%) de la recta real acabada.

§  C%: los números Complejos cubren el (100%100%) del plano complejo acabado.

§  Siendo: N%=P%<Z%<Q%<I%<C%.

Nota: ejes (x: ordenada, y: abscisa), R%=(Q%+I%), y (C) no es un cuerpo ordenado. Obviamente, este procedimiento solo funciona con conjuntos cuya densidad y/o dimensionalidad es conocida – pudiendo, incluso serlo mediante la arbitraria elección de un intervalo cerrado representativo.
Considero que numerabilidad y (una combinación entre la densidad diferencial y la dimensionalidad diferencial definida entre conjuntos), no son lo mismo. Dado que, por ejemplo, se consideran numerables los conjuntos: Naturales, Pares, Enteros, Racionales, etc. Mientras que, en mi inicial enfoque, estos no tienen todos la misma combinación de densidad diferencial (r) y dimensionalidad diferencial (L).
Sintéticamente: existen distancias – puntos desde el origen de coordenadas inalcanzables – irrepresentables –, en específicos conjuntos numéricos. El método, básicamente consistiría en: comparar la dimensionalidad y densidad, de un conjunto respecto del otro – por ej.: [(L(IU(S))*r(IP(S))) vs (L(IU(S’))*r(IP(S’)))]. Siendo (IP(x)), un intervalo cerrado representativo de la densidad del conjunto (x), y (UR(x)) el intervalo universal capaz de contener los conjuntos comparados [y si, tales comparativas: podrían determinarse mediante la aplicabilidad o no de una función biyectiva entre los conjuntos] –.
Seguidamente. Me gustaría enfatizar que: este sugerido enfoque comparativo, en última instancia, remite exclusivamente a la acepción potencial del infinito y ello, evita las, para mí, pseudo-demostraciones de Cantor e infestados (acepción actual del infinito).

Entonces, ¿el todo, es mayor a cualquiera de sus partes – Euclides –?

§  Conjunto finito: el todo, es mayor a cualquiera de sus partes.

§  Conjunto infinito: el todo, es mayor a cualquiera de sus partes – no decírselo a Cantor –. Dado que, existen elementos del conjunto parte que pueden ser alcanzados por el conjunto todo – distancias –, pero no viceversa. Esta idea, se me presenta como más a la concepción como potencialidad y no como actualidad del infinito – ¿Gauss vs Cantor? –.

§  

Critica: apelar a que: siempre puede establecerse una correspondencia biunívoca entre los puntos de dos segmentos cualesquiera disjuntos. Como fundamento de que ambos segmentos poseen exactamente, la misma cantidad – ¿propiamente numérica ( pormenorización al respecto )? – de puntos, implica:

§  Incurrir en similar error al de la correspondencia biunívoca entre una superficie y una línea recta. Es decir: imponer subrepticia e injustificadamente – no siendo ello consecuencia de las propiedades del conjunto al que pertenece (densidad diferencial y dimensionalidad diferencialresolución diferencial – a las coordenadas de cada segmento – ver PCC ( pormenorización al respecto ) –.

Nota: considero que, no es posible establecer una correlación biunívoca, entre segmentos de recta de diferentes longitudes – de un mismo conjunto numérico –. Dado que, si ambos conjuntos pertenecen al mismo conjunto numérico y ambos conjuntos tienen diferentes longitudes, entonces: existirá al menos un (x) que pertenezca al de menor longitud, que no tenga imagen. En consecuencia – en esta relación improcedentemente replanteada –, no puede establecerse una correspondencia biunívoca entre ambos conjuntos, dado que: o no es una función sobreyectiva o no es una función total – [f: (mayor^DDmenor^DD+)] ® no-sobreyectiva [f: (menor^DD+mayor^DD)] ® no-total –.

§  Y a nivel divulgativo, considerar a infinito, como una específica cantidad – propiamente numérica –, de una específica unidad – propiamente numérica –.

En consecuencia, la comparativa entre conjuntos numéricos infinitos, me resulta más representativa entendida como recubrimiento, que como cardinalidad. O sea, en este caso, ambos conjuntos poseen la misma densidad de elementos ambos son infinitos (potencialmente hablando) – inagotables y por lo mismo, no una específica cantidad (propiamente numérica) –. Y puesto que, no es posible ponerlos en correspondencia biunívoca, tampoco poseerían el mismo cardinal – número transfinito ( pormenorización al respecto ) (propiamente un conjunto inductivo ( pormenorización al respecto )) –.
Dato: se usa el teorema de la barra transversal, para asegurar que la prolongación de un punto de uno de los segmentos y el punto (F) exterior a los mismos, corta el otro segmento.


Función total: se define para todos los elementos del dominio.
Función parcial: se define para solo algunos elementos del dominio.


PD: Y ya que estamos, ¿conocen a alguien que posea actualmente infinitas manzanas?



 


 

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