lunes, 12 de marzo de 2018

Axiomatización de la aritmética.

… (c)  poseo “cierto grado de confianza” sobre “la coherencia” respecto de: “dado un sistema de numeración posicional (decimal), 1+1=2”. Claro que, según “el determinismo”“estoy completamente condicionado a sentir”que (c) 


Axiomática de Peano: (excluyendo al 0)
Conceptos primitivos:
Símbolo (N): Predicado monádico ((n) es un número Natural).
Símbolo (1): Constante que representa al primer número Natural.
Símbolo (S(n)): Función sucesor de (n).

Axiomas básicos de la aritmética:
1)   N(1): (1) es un número Natural.
2)   Para-todo nEN, Existe S(n)/S(n)EN: Todo número Natural tiene un sucesor.
3)   S(n)≠N(1): (1) no es sucesor de ningún número Natural.
4)   Para-todo (n,m)EN, Si (S(n)=S(m))->n=m: Si dos números Naturales tienen el mismo sucesor, ambos son iguales.
5)   Inducción matemática:
Si un conjunto de números Naturales contiene al (1) y a sus sucesores, entonces este conjunto contiene a todos los números Naturales.
Razonamiento:
El número Natural (a), tiene la propiedad (P).
El hecho de que cualquier número Natural (n), tenga la propiedad (P), implica que (n+1), también la tiene (n->n+1).
Todos los números Naturales a partir de (a), tienen la propiedad (P).

Axiomas de las operaciones aritméticas básicas:
6)   Axioma de la adición:
§  Para-todo n (n + 1 = S(n))                                 …{1,1: 1+1 = S(1)}
§  Para-todo n,Para-todo m (n + S(m) = S(n + m))     …{2,3: 2+S(3) = S(2+3)}
7)   Axioma de la multiplicación:
§  Para-todo n (n * 1 = n)                                       …{1,1: 1*1 = 1}
§  Para-todo n,Para-todo m (n * S(m) = (n * m) + n)  …{2,3: 2*S(3) = (2*3)+2}

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