Axiomatización de la aritmética.

… (c)  poseo “cierto grado de confianza” sobre “la coherencia” respecto de: “dado un sistema de numeración posicional (decimal), 1+1=2”. Claro que, según “el determinismo”; “estoy completamente condicionado a sentir”que (c) 

Axiomática de Peano: (excluyendo al 0)

Conceptos primitivos:

Símbolo (N): Predicado monádico ((n) es un número Natural).

Símbolo (1): Constante que representa al primer número Natural.

Símbolo (S(n)): Función sucesor de (n).

Axiomas básicos de la aritmética:

1)   N(1): (1) es un número Natural.

2)   Para-todo nEN, Existe S(n)/S(n)EN: Todo número Natural tiene un sucesor.

3)   S(n)≠N(1): (1) no es sucesor de ningún número Natural.

4)   Para-todo (n,m)EN, Si (S(n)=S(m))->n=m: Si dos números Naturales tienen el mismo sucesor, ambos son iguales.

5)   Inducción matemática:

Si un conjunto de números Naturales contiene al (1) y a sus sucesores, entonces este conjunto contiene a todos los números Naturales.

Razonamiento:

El número Natural (a), tiene la propiedad (P).

El hecho de que cualquier número Natural (n), tenga la propiedad (P), implica que (n+1), también la tiene (n->n+1).

Todos los números Naturales a partir de (a), tienen la propiedad (P).

Axiomas de las operaciones aritméticas básicas:

6)   Axioma de la adición:

§  Para-todo n (n + 1 = S(n))                                 …{1,1: 1+1 = S(1)}

§  Para-todo n,Para-todo m (n + S(m) = S(n + m))     …{2,3: 2+S(3) = S(2+3)}

7)   Axioma de la multiplicación:

§  Para-todo n (n * 1 = n)                                       …{1,1: 1*1 = 1}

§  Para-todo n,Para-todo m (n * S(m) = (n * m) + n)  …{2,3: 2*S(3) = (2*3)+2}